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‎Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/04.Knapsack-Problem-04.md‎

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22

33
## 5. 分组背包问题
44

5-
> **分组背包问题**:有 $n$ 组物品和一个最多能装重量为 $W$ 的背包,第 $i$ 组物品的件数为 $count[i],ドル第 $i$ 组的第 $j$ 个物品重量为 $weight[i][j],ドル价值为 $value[i][j]$。每组物品中最多只能选择 1ドル$ 件物品装入背包。请问在总重量不超过背包载重上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?
5+
> **分组背包问题**:有 $n$ 组物品和一个最多能装重量为 $W$ 的背包,第 $i$ 组物品的件数为 $group\underline{}count[i],ドル第 $i$ 组的第 $j$ 个物品重量为 $weight[i][j],ドル价值为 $value[i][j]$。每组物品中最多只能选择 1ドル$ 件物品装入背包。请问在总重量不超过背包载重上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?
6+
7+
### 5.1 分组背包问题基本思路
8+
9+
#### 思路 1:动态规划 + 二维基本思路
10+
11+
###### 1. 划分阶段
12+
13+
按照物品种类的序号、当前背包的载重上限进行阶段划分。
14+
15+
###### 2. 定义状态
16+
17+
定义状态 $dp[i][w]$ 表示为:前 $i$ 组物品放入一个最多能装重量为 $w$ 的背包中,可以获得的最大价值。
18+
19+
状态 $dp[i][w]$ 是一个二维数组,其中第一维代表「当前正在考虑的物品组数」,第二维表示「当前背包的载重上限」,二维数组值表示「可以获得的最大价值」。
20+
21+
###### 3. 状态转移方程
22+
23+
由于我们可以不选择 $i - 1$ 组物品中的任何物品,也可以从第 $i - 1$ 组物品的第 0ドル \sim group\underline{}count[i - 1] - 1$ 件物品中随意选择 1ドル$ 件物品,所以状态 $dp[i][w]$ 可能从以下方案中选择最大值:
24+
25+
1. 不选择第 $i - 1$ 组中的任何物品:可以获得的最大价值为 $dp[i - 1][w]$。
26+
2. 选择第 $i - 1$ 组物品中第 0ドル$ 件:可以获得的最大价值为 $dp[i - 1][w - weight[i - 1][0]] + value[i - 1][0]$。
27+
3. 选择第 $i - 1$ 组物品中第 1ドル$ 件:可以获得的最大价值为 $dp[i - 1][w - weight[i - 1][1]] + value[i - 1][1]$。
28+
4. ......
29+
5. 选择第 $i - 1$ 组物品中最后 1ドル$ 件:假设 $k = group\underline{}count[i - 1] - 1,ドル则可以获得的最大价值为 $dp[i - 1][w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k]$。
30+
31+
则状态转移方程为:
32+
33+
$dp[i][w] = max \lbrace dp[i - 1][w],dp[i - 1][w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k] \rbrace , \quad 0 \le k \le group\underline{}count[i - 1]$
34+
35+
###### 4. 初始条件
36+
37+
- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0] = 0$。
38+
- 前 0ドル$ 组物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w] = 0$。
39+
40+
###### 5. 最终结果
41+
42+
根据我们之前定义的状态,$dp[i][w]$ 表示为:前 $i$ 组物品放入一个最多能装重量为 $w$ 的背包中,可以获得的最大价值。则最终结果为 $dp[size][W],ドル其中 $size$ 为物品的种类数,$W$ 为背包的载重上限。
43+
44+
#### 思路 1:代码
45+
46+
```Python
47+
class Solution:
48+
# 思路 1:动态规划 + 二维基本思路
49+
def groupPackMethod1(self, group_count: [int], weight: [[int]], value: [[int]], W: int):
50+
size = len(group_count)
51+
dp = [[0 for _ in range(W + 1)] for _ in range(size + 1)]
52+
53+
# 枚举前 i 组物品
54+
for i in range(1, size + 1):
55+
# 枚举背包装载重量
56+
for w in range(W + 1):
57+
# 枚举第 i - 1 组物品能取个数
58+
dp[i][w] = dp[i - 1][w]
59+
for k in range(group_count[i - 1]):
60+
if w >= weight[i - 1][k]:
61+
# dp[i][w] 取所有 dp[i - 1][w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k] 中最大值
62+
dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i - 1][w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k])
63+
```
64+
65+
#### 思路 1:复杂度分析
66+
67+
- **时间复杂度**:$O(n \times W \times C),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$C$ 是每组物品的数量。因为 $n \times C = \sum group\underline{}count[i],ドル所以时间复杂度也可以写成 $O(W \times \sum group\underline{}count[i])$。
68+
- **空间复杂度**:$O(n \times W)$。
69+
70+
### 5.2 分组背包问题滚动数组优化
71+
72+
#### 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化
73+
74+
###### 1. 划分阶段
75+
76+
按照当前背包的载重上限进行阶段划分。
77+
78+
###### 2. 定义状态
79+
80+
定义状态 $dp[w]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$ 的背包中,可以获得的最大价值。
81+
82+
###### 3. 状态转移方程
83+
84+
$dp[w] = max \lbrace dp[w], \quad dp[w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k] \rbrace ,\quad 0 \le k \le group\underline{}count[i - 1]$
85+
86+
###### 4. 初始条件
87+
88+
- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[0] = 0$。
89+
90+
###### 5. 最终结果
91+
92+
根据我们之前定义的状态, $dp[w]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$ 的背包中,可以获得的最大价值。则最终结果为 $dp[W],ドル其中 $W$ 为背包的载重上限。
93+
94+
#### 思路 2:代码
95+
96+
```Python
97+
class Solution:
98+
# 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化
99+
def groupPackMethod2(self, group_count: [int], weight: [[int]], value: [[int]], W: int):
100+
size = len(group_count)
101+
dp = [0 for _ in range(W + 1)]
102+
103+
# 枚举前 i 组物品
104+
for i in range(1, size + 1):
105+
# 逆序枚举背包装载重量
106+
for w in range(W, -1, -1):
107+
# 枚举第 i - 1 组物品能取个数
108+
for k in range(group_count[i - 1]):
109+
if w >= weight[i - 1][k]:
110+
# dp[w] 取所有 dp[w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k] 中最大值
111+
dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight[i - 1][k]] + value[i - 1][k])
112+
113+
return dp[W]
114+
```
115+
116+
#### 思路 2:复杂度分析
117+
118+
- **时间复杂度**:$O(n \times W \times C),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$C$ 是每组物品的数量。因为 $n \times C = \sum group\underline{}count[i],ドル所以时间复杂度也可以写成 $O(W \times \sum group\underline{}count[i])$。
119+
- **空间复杂度**:$O(W)$。
6120

7121
## 6. 二维费用背包问题
8122

9-
> **二维费用背包问题**:
123+
> **二维费用背包问题**:有 $n$ 件物品和有一个最多能装重量为 $W$、容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 件物品的重量为 $weight[i],ドル体积为 $volume[i],ドル价值为 $value[i],ドル每件物品有且只有 1ドル$ 件。请问在总重量不超过背包载重上限、容量上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?
124+
125+
### 6.1 二维费用背包问题基本思路
126+
127+
我们可以参考「0-1 背包问题」的状态定义和基本思路,在「0-1 背包问题」基本思路的基础上,增加一个维度用于表示物品的容量。
128+
129+
#### 思路 1:动态规划 + 三维基本思路
130+
131+
###### 1. 划分阶段
132+
133+
按照物品种类的序号、当前背包的载重上限、容量上限进行阶段划分
134+
135+
###### 2. 定义状态
136+
137+
定义状态 $dp[i][w][v]$ 为:前 $i$ 件物品放入一个最多能装重量为 $w$、容量为 $v$ 的背包中,可以获得的最大价值。
138+
139+
###### 3. 状态转移方程
140+
141+
$dp[i][w][v] = max(dp[i - 1][w][v], dp[i - 1][w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]] + value[i - 1]), \quad 0 \le weight[i - 1] \le w, 0 \le volume[i - 1] \le v$
142+
143+
> 注意:采用这种「状态定义」和「状态转移方程」,往往会导致内存超出要求限制,所以一般我们会采用「滚动数组」对算法的空间复杂度进行优化。
144+
145+
###### 4. 初始条件
146+
147+
- 如果背包载重上限为 0ドル$ 或者容量上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[i][0][v] = 0,dp[i][w][0] = 0$。
148+
- 前 0ドル$ 组物品所能获得的最大价值一定为 0ドル,ドル即 $dp[0][w][v] = 0$。
149+
150+
###### 5. 最终结果
151+
152+
根据我们之前定义的状态, $dp[i][w][v]$ 表示为:前 $i$ 件物品放入一个最多能装重量为 $w$、容量为 $v$ 的背包中,可以获得的最大价值。则最终结果为 $dp[size][W][V],ドル其中 $size$ 为物品的种类数,$W$ 为背包的载重上限,$V$ 为背包的容量上限。
153+
154+
#### 思路 1:代码
155+
156+
```Python
157+
class Solution:
158+
# 思路 1:动态规划 + 三维基本思路
159+
def twoDCostPackMethod1(self, weight: [int], volume: [int], value: [int], W: int, V: int):
160+
size = len(weight)
161+
dp = [[[0 for _ in range(V + 1)] for _ in range(W + 1)] for _ in range(size + 1)]
162+
163+
# 枚举前 i 组物品
164+
for i in range(1, N + 1):
165+
# 枚举背包装载重量
166+
for w in range(W + 1):
167+
# 枚举背包装载容量
168+
for v in range(V + 1):
169+
# 第 i - 1 件物品装不下
170+
if w < weight[i - 1] or v < volume[i - 1]:
171+
# dp[i][w][v] 取「前 i - 1 件物品装入装载重量为 w、装载容量为 v 的背包中的最大价值」
172+
dp[i][w][v] = dp[i - 1][w][v]
173+
else:
174+
# dp[i][w][v] 取所有 dp[w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]] + value[i - 1] 中最大值
175+
dp[i][w][v] = max(dp[i - 1][w][v], dp[i - 1][w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]] + value[i - 1])
176+
177+
return dp[size][W][V]
178+
```
179+
180+
#### 思路 1:复杂度分析
181+
182+
- **时间复杂度**:$O(n \times W \times V),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$V$ 为背包的容量上限。
183+
- **空间复杂度**:$O(n \times W \times V)$。
184+
185+
### 6.2 二维费用背包问题滚动数组优化
186+
187+
#### 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化
188+
189+
###### 1. 划分阶段
190+
191+
按照当前背包的载重上限、容量上限进行阶段划分。
192+
193+
###### 2. 定义状态
194+
195+
定义状态 $dp[w][v]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$、容量为 $v$ 的背包中,可以获得的最大价值。
196+
197+
###### 3. 状态转移方程
198+
199+
$dp[w][v] = max \lbrace dp[w][v], \quad dp[w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]] + value[i - 1] \rbrace , \quad 0 \le weight[i - 1] \le w, 0 \le volume[i - 1] \le v$
200+
201+
###### 4. 初始条件
202+
203+
- 如果背包载重上限为 0ドル$ 或者容量上限为 0ドル,ドル则无论选取什么物品,可以获得的最大价值一定是 0ドル,ドル即 $dp[w][0] = 0,dp[0][v] = 0$。
204+
205+
###### 5. 最终结果
206+
207+
根据我们之前定义的状态, $dp[w][v]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$、容量为 $v$ 的背包中,可以获得的最大价值。则最终结果为 $dp[W][V],ドル其中 $W$ 为背包的载重上限,$V$ 为背包的容量上限。
208+
209+
#### 思路 2:代码
210+
211+
```Python
212+
class Solution:
213+
# 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化
214+
def twoDCostPackMethod2(self, weight: [int], volume: [int], value: [int], W: int, V: int):
215+
size = len(weight)
216+
dp = [[0 for _ in range(V + 1)] for _ in range(W + 1)]
217+
218+
# 枚举前 i 组物品
219+
for i in range(1, N + 1):
220+
# 逆序枚举背包装载重量
221+
for w in range(W, weight[i - 1] - 1, -1):
222+
# 逆序枚举背包装载容量
223+
for v in range(V, volume[i - 1] - 1, -1):
224+
# dp[w][v] 取所有 dp[w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]] + value[i - 1] 中最大值
225+
dp[w][v] = max(dp[w][v], dp[w - weight[i - 1]][v - volume[i - 1]] + value[i - 1])
226+
227+
return dp[W][V]
228+
```
229+
230+
#### 思路 2:复杂度分析
231+
232+
- **时间复杂度**:$O(n \times W \times V),ドル其中 $n$ 为物品分组数量,$W$ 为背包的载重上限,$V$ 为背包的容量上限。
233+
- **空间复杂度**:$O(W \times V)$。
234+
235+
## 7. 背包问题变种
236+
237+
### 7.1 背包问题求方案总数
238+
239+
> **背包问题求方案数**:在给定背包重量 $W,ドル每件物品重量 $weight[i],ドル物品间相互关系(分组、依赖等)的背包问题中。求解出装满背包或将背包装至某一指定重量的方案总数。
240+
241+
这种问题就是将原有状态转移方程中的「求最大值」变为「求和」即可。我们以「完全背包问题」求解方案总数为例。
242+
243+
> **完全背包问题求解方案数**:有 $n$ 种物品和一个最多能装重量为 $W$ 的背包,第 $i$ 种物品的重量为 $weight[i],ドル价值为 $value[i],ドル每种物品数量没有限制。请问装满重量为 $W$ 的背包,一共有多少种方案。
244+
245+
如果使用二维状态定义,可定义状态 $dp[i][w]$ 为:前 $i$ 种物品放入一个最多能装重量为 $w$ 的背包中,一共有多少种方案。
246+
247+
则状态转移方程为:$dp[i][w] = sum(dp[i - 1][w], \quad dp[i][w - weight[i - 1]])$。
248+
249+
如果进行滚动数组优化中,使用一位状态定义,可定义状态 $dp[w]$ 为:装满重量为 $w$ 的背包的方案总数。则状态转移方程为:$dp[w] = sum(dp[w], \quad dp[w - weight[i - 1]])$。
250+
251+
###### 1. 划分阶段
252+
253+
按照物品种类的序号、当前背包的载重上限进行阶段划分。
254+
255+
###### 2. 定义状态
256+
257+
定义状态 $dp[w]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$ 的背包中的方案总数。
258+
259+
###### 3. 状态转移方程
260+
261+
$dp[w] = sum \lbrace dp[w], \quad dp[w - weight[i - 1]] \rbrace $
262+
263+
###### 4. 初始条件
264+
265+
- 如果背包载重上限为 0ドル,ドル则一共有 1ドル$ 种方案(什么也不装),即 $dp[0] = 1$。
266+
267+
###### 5. 最终结果
268+
269+
根据我们之前定义的状态, $dp[w]$ 表示为:将物品装入最多能装重量为 $w$ 的背包中的方案总数。则最终结果为 $dp[W],ドル其中 $W$ 为背包的载重上限。
270+
271+
#### 思路 1:代码
272+
273+
```Python
274+
275+
```
276+
277+
#### 思路 1:复杂度分析
278+
279+
- **时间复杂度**:$O(n \times W),ドル其中 $n$ 为物品种类数量,$W$ 为背包的载重上限。
280+
- **空间复杂度**:$O(W)$。
281+
282+
### 7.2 背包问题求最优方案数
283+
284+
### 7.3 背包问题输出方案
10285

11286
## 参考资料
12287

13288
- 【资料】[背包九讲 - 崔添翼](https://github.com/tianyicui/pack)
14289
- 【文章】[背包 DP - OI Wiki](https://oi-wiki.org/dp/knapsack/)
290+
- 【文章】[【动态规划/背包问题】分组背包问题](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU4NDE3MTEyMA==&mid=2247487504&idx=1&sn=9ac523ec0ac14c8634a229f8c3f919d7&chksm=fd9cbb0fcaeb32196b80a40e4408f6a7e2651167e0b9e31aa6d7c6109fbc2117340a59db12a1&scene=178&cur_album_id=1751702161341628417#rd)

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