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| 1 | +## 1.1 差分约束系统简介 |
| 2 | + |
| 3 | +> **差分约束系统(System of Difference Constraints)**:一种特殊的线性规划问题,其中每个约束条件都是形如 $x_i - x_j \leq c$ 的不等式。这类问题可以通过图论中的最短路径算法来求解。 |
| 4 | + |
| 5 | +## 1.2 问题形式 |
| 6 | + |
| 7 | +给定一组形如 $x_i - x_j \leq c$ 的约束条件,其中: |
| 8 | + |
| 9 | +- $x_i, x_j$ 是变量。 |
| 10 | +- $c$ 是常数。 |
| 11 | + |
| 12 | +我们的目标是找到一组满足所有约束条件的变量值。 |
| 13 | + |
| 14 | +## 1.3 图论建模 |
| 15 | + |
| 16 | +差分约束系统可以转化为有向图问题: |
| 17 | + |
| 18 | +1. 将每个变量 $x_i$ 看作图中的一个顶点。 |
| 19 | +2. 对于约束 $x_i - x_j \leq c,ドル添加一条从 $j$ 到 $i$ 的边,权重为 $c$。 |
| 20 | +3. 添加一个虚拟源点 $s,ドル向所有顶点连一条权重为 0ドル$ 的边。 |
| 21 | + |
| 22 | +## 1.4 求解方法 |
| 23 | + |
| 24 | +1. **Bellman-Ford 算法**: |
| 25 | + - 如果图中存在负环,则无解。 |
| 26 | + - 否则,从源点到各点的最短路径长度即为对应变量的解。 |
| 27 | + |
| 28 | +2. **SPFA 算法**: |
| 29 | + - 队列优化的 Bellman-Ford 算法。 |
| 30 | + - 适用于稀疏图。 |
| 31 | + |
| 32 | +## 1.5 应用场景 |
| 33 | + |
| 34 | +1. 任务调度问题 |
| 35 | +2. 区间约束问题 |
| 36 | +3. 资源分配问题 |
| 37 | +4. 时间序列分析 |
| 38 | + |
| 39 | +## 1.6 代码实现 |
| 40 | + |
| 41 | +```python |
| 42 | +def solve_difference_constraints(n, constraints): |
| 43 | + # 构建图 |
| 44 | + graph = [[] for _ in range(n + 1)] |
| 45 | + for i, j, c in constraints: |
| 46 | + graph[j].append((i, c)) |
| 47 | + |
| 48 | + # 添加虚拟源点 |
| 49 | + for i in range(n): |
| 50 | + graph[n].append((i, 0)) |
| 51 | + |
| 52 | + # Bellman-Ford 算法 |
| 53 | + dist = [float('inf')] * (n + 1) |
| 54 | + dist[n] = 0 |
| 55 | + |
| 56 | + # 松弛操作 |
| 57 | + for _ in range(n): |
| 58 | + for u in range(n + 1): |
| 59 | + for v, w in graph[u]: |
| 60 | + if dist[u] + w < dist[v]: |
| 61 | + dist[v] = dist[u] + w |
| 62 | + |
| 63 | + # 检查负环 |
| 64 | + for u in range(n + 1): |
| 65 | + for v, w in graph[u]: |
| 66 | + if dist[u] + w < dist[v]: |
| 67 | + return None # 存在负环,无解 |
| 68 | + |
| 69 | + return dist[:n] # 返回前 n 个变量的解 |
| 70 | +``` |
| 71 | + |
| 72 | +## 1.7 算法复杂度 |
| 73 | + |
| 74 | +- 时间复杂度: |
| 75 | + |
| 76 | + - **Bellman-Ford 算法**: |
| 77 | + |
| 78 | + - 最坏情况:$O(VE)$。 |
| 79 | + |
| 80 | + - 其中 $V$ 为顶点数,$E$ 为边数。 |
| 81 | + |
| 82 | + - 需要进行 $V-1$ 次松弛操作,每次操作遍历所有边。 |
| 83 | + |
| 84 | + - **SPFA 算法**: |
| 85 | + - 平均情况:$O(kE),ドル其中 $k$ 为每个点的平均入队次数。 |
| 86 | + - 最坏情况:$O(VE)$。 |
| 87 | + - 实际运行时间通常优于 Bellman-Ford 算法。 |
| 88 | + |
| 89 | +- 空间复杂度: |
| 90 | + |
| 91 | + - **Bellman-Ford 算法**: |
| 92 | + |
| 93 | + - $O(V + E)$ |
| 94 | + |
| 95 | + - 需要存储图结构:$O(V + E)$。 |
| 96 | + |
| 97 | + - 需要存储距离数组:$O(V)$。 |
| 98 | + |
| 99 | + - **SPFA 算法**: |
| 100 | + |
| 101 | + - $O(V + E)$。 |
| 102 | + |
| 103 | + - 需要存储图结构:$O(V + E)$。 |
| 104 | + |
| 105 | + - 需要存储距离数组:$O(V)$。 |
| 106 | + |
| 107 | + - 需要存储队列:$O(V)$。 |
| 108 | + |
| 109 | +### 1.8 优化建议 |
| 110 | + |
| 111 | +1. 对于稀疏图,优先使用 SPFA 算法。 |
| 112 | +2. 对于稠密图,可以考虑使用 Bellman-Ford 算法。 |
| 113 | +3. 如果问题规模较大,可以考虑使用其他优化算法或启发式方法。 |
| 114 | + |
| 115 | +### 1.9 注意事项 |
| 116 | + |
| 117 | +1. 差分约束系统可能有多个解 |
| 118 | +2. 如果存在负环,则无解 |
| 119 | +3. 实际应用中需要注意数值精度问题 |
| 120 | +4. 对于大规模问题,可以考虑使用其他优化算法 |
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