2828
2929## 解题思路
3030
31- ### 思路 1:动态规划(超时)
32- 33- 这道题目的题意不是很容易理解,我们先把题目简化一下,忽略一些限制条件,理解简单情况下的题意。然后再一步步增加限制条件,从而先弄明白这道题目的意思。
31+ 这道题目的题意不是很容易理解,我们先把题目简化一下,忽略一些限制条件,理解简单情况下的题意。然后再一步步增加限制条件,从而弄明白这道题目的意思。以及思考解题思路。
3432
3533我们先忽略 ` k ` 个鸡蛋这个条件,假设有无限个鸡蛋。
3634
4341- 如果鸡蛋没摔碎,则可以继续选择其他楼层进行测试。
4442- 如果鸡蛋摔碎了,则该鸡蛋无法继续测试。
4543
46- 现在题目要求:一共有 ` n ` 层楼,无限个鸡蛋,求出至少需要扔几次鸡蛋,才能保证无论 ` f ` 是多少层,都能将 ` f ` 找出来?
44+ 现在题目要求:** 已知有 ` n ` 层楼,无限个鸡蛋,求出至少需要扔几次鸡蛋,才能保证无论 ` f ` 是多少层,都能将 ` f ` 找出来?**
4745
4846最简单且直观的想法:
4947
6159- 如果鸡蛋碎了,则从第 ` 1 ` 层到中间层这个区间中去扔鸡蛋。
6260- 如果鸡蛋没碎,则从中间层到第 ` n ` 层这个区间中去扔鸡蛋。
6361
64- 每次扔鸡蛋都从区间的中间层去扔,这样每次都能排除当前区间一半的答案,从而最终确定鸡蛋不会摔碎的最高楼层 ` f ` 。。
62+ 每次扔鸡蛋都从区间的中间层去扔,这样每次都能排除当前区间一半的答案,从而最终确定鸡蛋不会摔碎的最高楼层 ` f ` 。
6563
6664通过这种二分查找的方法,可以优化到 $\log n$ 次就能确定鸡蛋不贵摔碎的最高楼层 ` f ` 。
6765
7169
7270这是不限制鸡蛋个数的情况下,现在在给定 ` n ` 层楼的基础上,再限制一下鸡蛋个数为 ` k ` 。
7371
74- 现在题目要求:一共有 ` n ` 层楼,` k ` 个鸡蛋,求出至少需要扔几次鸡蛋,才能保证无论 ` f ` 是多少层,都能将 ` f ` 找出来?
72+ 现在题目要求:** 已知有 ` n ` 层楼,` k ` 个鸡蛋,求出至少需要扔几次鸡蛋,才能保证无论 ` f ` 是多少层,都能将 ` f ` 找出来?**
7573
7674如果鸡蛋足够多(大于等于 $\log_2 n$ 个),可以通过二分查找的方法来测试。如果鸡蛋不够多,可能二分查找过程中,鸡蛋就用没了,则不能通过二分查找的方法来测试。
7775
78- 那么这时候为了找出 ` f ` ,我们应该如何求出最少的扔鸡蛋次数。
76+ 那么这时候为了找出 ` f ` ,我们应该如何求出最少的扔鸡蛋次数?
77+ 78+ ### 思路 1:动态规划(超时)
7979
8080可以这样考虑。题目限定了 ` n ` 层楼,` k ` 个鸡蛋。
8181
@@ -146,7 +146,7 @@ class Solution:
146146
147147### 思路 2:动态规划优化
148148
149- 上一步中时间复杂度为 $O(n^2 \times k)$。根据 $n$ 的规模,提交上去补出意外的超时了 。
149+ 上一步中时间复杂度为 $O(n^2 \times k)$。根据 $n$ 的规模,提交上去不出意外的超时了 。
150150
151151我们可以观察一下上面的状态转移方程 $dp[ i] [ j ] = min_ {1 \le x \le n} (max(dp[ i - x] [ j ] , dp[ x - 1] [ j - 1 ] )) + 1$ 。
152152
@@ -197,21 +197,55 @@ class Solution:
197197
198198### 思路 3:动态规划 + 逆向思维
199199
200+ 再看一下我们现在的题目要求:已知有 ` n ` 层楼,` k ` 个鸡蛋,求出至少需要扔几次鸡蛋,才能保证无论 ` f ` 是多少层,都能将 ` f ` 找出来?
201+ 202+ 我们可以逆向转换一下思维,将题目转变为:** 已知有 ` k ` 个鸡蛋,最多扔 ` x ` 次鸡蛋(碎没碎都算 ` 1 ` 次),求最多可以检测的多少层?**
203+ 204+ 我们把未知条件「扔鸡蛋的次数」变为了已知条件,将「检测的楼层个数」变为了未知条件。
205+ 206+ 这样如果求出来的「检测的楼层个数」大于等于 ` n ` ,则说明 ` 1 ` ~ ` n ` 层楼都考虑全了,` f ` 值也就明确了。我们只需要从符合条件的情况中,找出「扔鸡蛋次数」最少的次数即可。
207+ 208+ 动态规划的具体步骤如下:
209+ 210+ ###### 1. 划分阶段
211+ 212+ 按照鸡蛋个数、扔鸡蛋的次数进行阶段划分。
213+ 214+ ###### 2. 定义状态
215+ 216+ 定义状态 ` dp[i][j] ` 表示为:一共有 ` i ` 个鸡蛋,最多扔 ` j ` 次鸡蛋(碎没碎都算 ` 1 ` 次)的条件下,最多可以检测的楼层个数。
217+ 218+ ###### 3. 状态转移方程
219+ 220+ 我们现在有 ` i ` 个鸡蛋,` j ` 次扔鸡蛋的机会,现在尝试在 ` 1 ` ~ ` n ` 层中的任意一层 ` x ` 扔鸡蛋:
200221
222+ 1 . 如果鸡蛋没碎,剩下 ` i ` 个鸡蛋,还有 ` j - 1 ` 次扔鸡蛋的机会,最多可以检测 ` dp[i][j - 1] ` 层楼层。
223+ 2 . 如果鸡蛋碎了,剩下 ` i - 1 ` 个鸡蛋,还有 ` j - 1 ` 次扔鸡蛋的机会,最多可以检测 ` dp[i - 1][j - 1] ` 层楼层。
224+ 3 . 再加上我们扔鸡蛋的第 ` x ` 层,` i ` 个鸡蛋,` j ` 次扔鸡蛋的机会最多可以检测 ` dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j - 1] + 1 ` 层。
225+ 226+ 则状态转移方程为:$dp[ i] [ j ] = dp[ i] [ j - 1 ] + dp[ i - 1] [ j - 1 ] + 1$。
227+ 228+ ###### 4. 初始条件
229+ 230+ - 当鸡蛋数为 ` 1 ` 时,只有 ` 1 ` 次扔鸡蛋的机会时,最多可以检测 ` 1 ` 层,即 ` dp[1][1] = 1 ` 。
231+ 232+ ###### 5. 最终结果
233+ 234+ 根据我们之前定义的状态,` dp[i][j] ` 表示为:一共有 ` i ` 个鸡蛋,最多扔 ` j ` 次鸡蛋(碎没碎都算 ` 1 ` 次)的条件下,最多可以检测的楼层个数。则我们需要从满足 ` i == k ` 并且 ` dp[i][j] >= n ` (即 ` k ` 个鸡蛋,` j ` 次扔鸡蛋,一共检测出 ` n ` 层楼)的情况中,找出最小的 ` j ` ,将其返回。
201235
202236### 思路 3:代码
203237
204238``` Python
205239class Solution :
206240 def superEggDrop (self k : int , n : int ) -> int :
207- dp = [[i for _ in range (k + 1 )] for i in range (n + 1 )]
241+ dp = [[0 for _ in range (n + 1 )] for i in range (k + 1 )]
208242 dp[1 ][1 ] = 1
209243
210- for i in range (1 , n + 1 ):
211- for j in range (1 , k + 1 ):
212- dp[i][j] = dp[i - 1 ][j ] + dp[i - 1 ][j - 1 ] + 1
213- if j == k and dp[i][j] >= n:
214- return i
244+ for i in range (1 , k + 1 ):
245+ for j in range (1 , n + 1 ):
246+ dp[i][j] = dp[i][j - 1 ] + dp[i - 1 ][j - 1 ] + 1
247+ if i == k and dp[i][j] >= n:
248+ return j
215249 return n
216250```
217251
@@ -224,3 +258,4 @@ class Solution:
224258
225259- 【题解】[ 题目理解 + 基本解法 + 进阶解法 - 鸡蛋掉落 - 力扣] ( https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/solution/ji-ben-dong-tai-gui-hua-jie-fa-by-labuladong/ )
226260- 【题解】[ 动态规划(只解释官方题解方法一)(Java) - 鸡蛋掉落 - 力扣] ( https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/solution/dong-tai-gui-hua-zhi-jie-shi-guan-fang-ti-jie-fang/ )
261+ - 【题解】[ 动态规划 & 记忆化搜索 2000ms -> 32ms 的过程 - 鸡蛋掉落 - 力扣] ( https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/solution/python-dong-tai-gui-hua-ji-yi-hua-sou-su-hnj9/ )
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