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1 parent 75f2511 commit 10196df

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+74
-20
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2 files changed

+74
-20
lines changed

‎Solutions/0516. 最长回文子序列.md‎

Lines changed: 57 additions & 12 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -5,30 +5,70 @@
55

66
## 题目大意
77

8-
给定一个字符串 `s`,找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。
8+
**描述**:给定一个字符串 $s$。
9+
10+
**要求**:找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。
11+
12+
**说明**:
13+
14+
- **子序列**:不改变剩余字符顺序的情况下,删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
15+
- 1ドル \le s.length \le 1000$。
16+
- $s$ 仅由小写英文字母组成。
17+
18+
**示例**:
19+
20+
- 示例 1:
21+
22+
```Python
23+
输入:s = "bbbab"
24+
输出:4
25+
解释:一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。
26+
```
27+
28+
- 示例 2:
29+
30+
```Python
31+
输入:s = "cbbd"
32+
输出:2
33+
解释:一个可能的最长回文子序列为 "bb"。
34+
```
935

1036
## 解题思路
1137

12-
动态规划求解。
38+
### 思路 1:动态规划
39+
40+
###### 1. 划分阶段
41+
42+
按照区间长度进行阶段划分。
43+
44+
###### 2. 定义状态
1345

14-
定义状态 `dp[i][j]` 表示为:字符串 `s` 在 `[i, j]` 范围内的最长回文子序列长度。
46+
定义状态 $dp[i][j]$ 表示为:字符串 $s$ 在区间 $[i, j]$ 范围内的最长回文子序列长度。
1547

16-
则状态转移公式为:
48+
###### 3. 状态转移方程
1749

18-
- 如果 `s[i] == s[j]`,则 `dp[i][j]` 为 `[i + 1, j - 1]` 范围内最长回文子序列长度 + 2,即 `dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2`。
50+
我们对区间 $[i, j]$ 边界位置上的字符 $s[i]$ 与 $s[j]$ 进行分类讨论:
1951

20-
- 如果 `s[i] != s[j]`,则 `dp[i][j]` 取决于以下两种情况,取其最大的一种:
52+
1. 如果 $s[i] = s[j],ドル则 $dp[i][j]$ 为区间 $[i + 1, j - 1]$ 范围内最长回文子序列长度 + 2ドル,ドル即 $dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2$。
53+
2. 如果 $s[i] \ne s[j],ドル则 $dp[i][j]$ 取决于以下两种情况,取其最大的一种:
54+
1. 加入 $s[i]$ 所能组成的最长回文子序列长度,即:$dp[i][j] = dp[i][j - 1]$。
55+
2. 加入 $s[j]$ 所能组成的最长回文子序列长度,即:$dp[i][j] = dp[i - 1][j]$。
2156

22-
- 加入 `s[i]` 所能组成的最长回文子序列长度,即:`dp[i][j] = dp[i][j - 1]`。
23-
- 加入 `s[j]` 所能组成的最长回文子序列长度,即:`dp[i][j] = dp[i - 1][j]`。
57+
则状态转移方程为:
2458

25-
下一步确定遍历方向。
59+
$dp[i][j] = \begin{cases} max \lbrace dp[i + 1][j - 1] + 2 \rbrace & s[i] = s[j] \cr max \lbrace dp[i][j - 1], dp[i - 1][j] \rbrace & s[i] \ne s[j] \end{cases}$
2660

27-
由于 `dp[i][j]` 依赖于 `dp[i + 1][j - 1]`、`dp[i + 1][j]`、`dp[i][j - 1]`,所以我们应该按照从下到上、从左到右的顺序进行遍历。
61+
###### 4. 初始条件
2862

29-
最后输出 `[0, size - 1]` 范围内最长回文子序列长度,即 `dp[0][size - 1]` 为最终答案。
63+
- 单个字符的最长回文序列是 1ドル$,即 $dp[i][i] = 1$。
3064

31-
## 代码
65+
###### 5. 最终结果
66+
67+
由于 $dp[i][j]$ 依赖于 $dp[i + 1][j - 1]$、$dp[i + 1][j]$、$dp[i][j - 1],ドル所以我们应该按照从下到上、从左到右的顺序进行遍历。
68+
69+
根据我们之前定义的状态,$dp[i][j]$ 表示为:字符串 $s$ 在区间 $[i, j]$ 范围内的最长回文子序列长度。所以最终结果为 $dp[0][size - 1]$。
70+
71+
### 思路 1:代码
3272

3373
```Python
3474
class Solution:
@@ -48,3 +88,8 @@ class Solution:
4888
return dp[0][size - 1]
4989
```
5090

91+
### 思路 1:复杂度分析
92+
93+
- **时间复杂度**:$O(n^2),ドル其中 $n$ 为字符串 $s$ 的长度。
94+
- **空间复杂度**:$O(n^2)$。
95+

‎Solutions/1547. 切棍子的最小成本.md‎

Lines changed: 17 additions & 8 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -44,32 +44,39 @@
4444
```Python
4545
输入:n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
4646
输出:22
47-
解释:如果按给定的顺序切割,则总成本为 25。总成本 <= 25 的切割顺序很多,例如,[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22,是所有可能方案中成本最小的。
47+
解释:如果按给定的顺序切割,则总成本为 25。总成本 <= 25 的切割顺序很多,例如,[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22,是所有可能方案中成本最小的。
4848
```
4949

5050
## 解题思路
5151

5252
### 思路 1:动态规划
5353

54+
我们可以预先在数组 $cuts$ 种添加位置 0ドル$ 和位置 $n,ドル然后对数组 $cuts$ 进行排序。这样待切割的木棍就对应了数组中连续元素构成的「区间」。
55+
5456
###### 1. 划分阶段
5557

56-
按照 进行阶段划分。
58+
按照区间长度进行阶段划分。
5759

5860
###### 2. 定义状态
5961

60-
定义状态 $dp[i]$ 表示为:。
62+
定义状态 $dp[i][j]$ 表示为:切割区间为 $[i, j]$ 上的小木棍的最小成本。
6163

6264
###### 3. 状态转移方程
6365

66+
假设位置 $i$ 与位置 $j$ 之间最后一个切割的位置为 $k,ドル则 $dp[i][j]$ 取决与由 $k$ 作为切割点分割出的两个区间 $[i, k]$ 与 $[k, j]$ 上的最小成本 + 切割位置 $k$ 所带来的成本。
6467

68+
而切割位置 $k$ 所带来的成本是这段区间所代表的小木棍的长度,即 $cuts[j] - cuts[i]$。
6569

66-
###### 4. 初始条件
70+
则状态转移方程为:$dp[i][j] = min \lbrace dp[i][k] + dp[k][j] + cuts[j] - cuts[i] \rbrace, \quad i < k < j$
6771

72+
###### 4. 初始条件
6873

74+
- 相邻位置之间没有切割点,不需要切割,最小成本为 0ドル,ドル即 $dp[i - 1][i] = 0$。
75+
- 其余位置默认为最小成本为一个极大值,即 $dp[i][j] = \infty, \quad i + 1 \ne j$。
6976

7077
###### 5. 最终结果
7178

72-
根据我们之前定义的状态,$dp[i]$ 表示为:。 所以最终结果为 $dp[size]$。
79+
根据我们之前定义的状态,$dp[i][j]$ 表示为:切割区间为 $[i, j]$ 上的小木棍的最小成本。 所以最终结果为 $dp[0][size - 1]$。
7380

7481
### 思路 1:代码
7582

@@ -81,7 +88,9 @@ class Solution:
8188
cuts.sort()
8289

8390
size = len(cuts)
84-
dp = [[0 for _ in range(size)] for _ in range(size)]
91+
dp = [[float('inf') for _ in range(size)] for _ in range(size)]
92+
for i in range(1, size):
93+
dp[i - 1][i] = 0
8594

8695
for l in range(3, size + 1): # 枚举区间长度
8796
for i in range(size): # 枚举区间起点
@@ -97,5 +106,5 @@ class Solution:
97106

98107
### 思路 1:复杂度分析
99108

100-
- **时间复杂度**:$O()$
101-
- **空间复杂度**:
109+
- **时间复杂度**:$O(m^3),ドル其中 $m$ 为数组 $cuts$ 的元素个数。
110+
- **空间复杂度**:$O(m^2)$。

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