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| 2 | +## 题目地址(3082. 求出所有子序列的能量和 - 力扣(LeetCode)) |
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| 4 | +https://leetcode.cn/problems/find-the-sum-of-the-power-of-all-subsequences/ |
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| 6 | +## 题目描述 |
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| 8 | +<p>给你一个长度为 <code>n</code> 的整数数组 <code>nums</code> 和一个 <strong>正</strong> 整数 <code>k</code> 。</p> |
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| 10 | +<p>一个整数数组的 <strong>能量</strong> 定义为和 <strong>等于</strong> <code>k</code> 的子序列的数目。</p> |
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| 12 | +<p>请你返回 <code>nums</code> 中所有子序列的 <strong>能量和</strong> 。</p> |
| 13 | + |
| 14 | +<p>由于答案可能很大,请你将它对 <code>10<sup>9</sup> + 7</code> <strong>取余</strong> 后返回。</p> |
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| 16 | +<p> </p> |
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| 18 | +<p><strong class="example">示例 1:</strong></p> |
| 19 | + |
| 20 | +<div class="example-block" style="border-color: var(--border-tertiary); border-left-width: 2px; color: var(--text-secondary); font-size: 0.875rem; margin-bottom: 1rem; margin-top: 1rem; overflow: visible; padding-left: 1rem;"> |
| 21 | +<p><strong>输入:</strong> <span class="example-io" style="font-family: Menlo, sans-serif; font-size: 0.85rem;"> nums = [1,2,3], k = 3 </span></p> |
| 22 | + |
| 23 | +<p><strong>输出:</strong> <span class="example-io" style="font-family: Menlo, sans-serif; font-size: 0.85rem;"> 6 </span></p> |
| 24 | + |
| 25 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 26 | + |
| 27 | +<p>总共有 <code>5</code> 个能量不为 0 的子序列:</p> |
| 28 | + |
| 29 | +<ul> |
| 30 | + <li>子序列 <code>[<u><em><strong>1</strong></em></u>,<u><em><strong>2</strong></em></u>,<u><em><strong>3</strong></em></u>]</code> 有 <code>2</code> 个和为 <code>3</code> 的子序列:<code>[1,2,<u><strong><em>3</em></strong></u>]</code> 和 <code>[<u><strong><em>1</em></strong></u>,<u><strong><em>2</em></strong></u>,3]</code> 。</li> |
| 31 | + <li>子序列 <code>[<u><em><strong>1</strong></em></u>,2,<u><em><strong>3</strong></em></u>]</code> 有 <code>1</code> 个和为 <code>3</code> 的子序列:<code>[1,2,<u><strong><em>3</em></strong></u>]</code> 。</li> |
| 32 | + <li>子序列 <code>[1,<u><em><strong>2</strong></em></u>,<u><em><strong>3</strong></em></u>]</code> 有 <code>1</code> 个和为 <code>3</code> 的子序列:<code>[1,2,<u><strong><em>3</em></strong></u>]</code> 。</li> |
| 33 | + <li>子序列 <code>[<u><em><strong>1</strong></em></u>,<u><em><strong>2</strong></em></u>,3]</code> 有 <code>1</code> 个和为 <code>3</code> 的子序列:<code>[<u><strong><em>1</em></strong></u>,<u><strong><em>2</em></strong></u>,3]</code> 。</li> |
| 34 | + <li>子序列 <code>[1,2,<u><em><strong>3</strong></em></u>]</code> 有 <code>1</code> 个和为 <code>3</code> 的子序列:<code>[1,2,<u><strong><em>3</em></strong></u>]</code> 。</li> |
| 35 | +</ul> |
| 36 | + |
| 37 | +<p>所以答案为 <code>2 +たす 1 +たす 1 +たす 1 +たす 1 =わ 6</code> 。</p> |
| 38 | +</div> |
| 39 | + |
| 40 | +<p><strong class="example">示例 2:</strong></p> |
| 41 | + |
| 42 | +<div class="example-block" style="border-color: var(--border-tertiary); border-left-width: 2px; color: var(--text-secondary); font-size: 0.875rem; margin-bottom: 1rem; margin-top: 1rem; overflow: visible; padding-left: 1rem;"> |
| 43 | +<p><strong>输入:</strong> <span class="example-io" style="font-family: Menlo, sans-serif; font-size: 0.85rem;"> nums = [2,3,3], k = 5 </span></p> |
| 44 | + |
| 45 | +<p><strong>输出:</strong> <span class="example-io" style="font-family: Menlo, sans-serif; font-size: 0.85rem;"> 4 </span></p> |
| 46 | + |
| 47 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 48 | + |
| 49 | +<p>总共有 <code>3</code> 个能量不为 0 的子序列:</p> |
| 50 | + |
| 51 | +<ul> |
| 52 | + <li>子序列 <code>[<u><em><strong>2</strong></em></u>,<u><em><strong>3</strong></em></u>,<u><em><strong>3</strong></em></u>]</code> 有 2 个子序列和为 <code>5</code> :<code>[<u><strong><em>2</em></strong></u>,3,<u><strong><em>3</em></strong></u>]</code> 和 <code>[<u><strong><em>2</em></strong></u>,<u><strong><em>3</em></strong></u>,3]</code> 。</li> |
| 53 | + <li>子序列 <code>[<u><em><strong>2</strong></em></u>,3,<u><em><strong>3</strong></em></u>]</code> 有 1 个子序列和为 <code>5</code> :<code>[<u><strong><em>2</em></strong></u>,3,<u><strong><em>3</em></strong></u>]</code> 。</li> |
| 54 | + <li>子序列 <code>[<u><em><strong>2</strong></em></u>,<u><em><strong>3</strong></em></u>,3]</code> 有 1 个子序列和为 <code>5</code> :<code>[<u><strong><em>2</em></strong></u>,<u><strong><em>3</em></strong></u>,3]</code> 。</li> |
| 55 | +</ul> |
| 56 | + |
| 57 | +<p>所以答案为 <code>2 + 1 + 1 = 4</code> 。</p> |
| 58 | +</div> |
| 59 | + |
| 60 | +<p><strong class="example">示例 3:</strong></p> |
| 61 | + |
| 62 | +<div class="example-block" style="border-color: var(--border-tertiary); border-left-width: 2px; color: var(--text-secondary); font-size: 0.875rem; margin-bottom: 1rem; margin-top: 1rem; overflow: visible; padding-left: 1rem;"> |
| 63 | +<p><strong>输入:</strong> <span class="example-io" style="font-family: Menlo, sans-serif; font-size: 0.85rem;"> nums = [1,2,3], k = 7 </span></p> |
| 64 | + |
| 65 | +<p><strong>输出:</strong> <span class="example-io" style="font-family: Menlo, sans-serif; font-size: 0.85rem;"> 0 </span></p> |
| 66 | + |
| 67 | +<p><strong>解释:</strong>不存在和为 <code>7</code> 的子序列,所以 <code>nums</code> 的能量和为 <code>0</code> 。</p> |
| 68 | +</div> |
| 69 | + |
| 70 | +<p> </p> |
| 71 | + |
| 72 | +<p><strong>提示:</strong></p> |
| 73 | + |
| 74 | +<ul> |
| 75 | + <li><code>1 <= n <= 100</code></li> |
| 76 | + <li><code>1 <= nums[i] <= 10<sup>4</sup></code></li> |
| 77 | + <li><code>1 <= k <= 100</code></li> |
| 78 | +</ul> |
| 79 | + |
| 80 | + |
| 81 | +## 前置知识 |
| 82 | + |
| 83 | +- 动态规划 |
| 84 | + |
| 85 | +## 公司 |
| 86 | + |
| 87 | +- 暂无 |
| 88 | + |
| 89 | +## 思路 |
| 90 | + |
| 91 | +主页里我提到过:"困难题目,从逻辑上说, 要么就是非常难想到,要么就是非常难写代码。 由于有时候需要组合多种算法,因此这部分题目的难度是最大的。" |
| 92 | + |
| 93 | +这道题我们可以先尝试将问题分解,分解为若干相对简单的子问题。然后子问题合并求解出最终的答案。 |
| 94 | + |
| 95 | +比如我们可以先`求出和为 k 的子序列`,然后用**贡献法**的思想考虑当前和为 k 的子序列(不妨记做S)对答案的贡献。其对答案的贡献就是**有多少子序列T包含当前和为k的子序列S**。假设有 10 个子序列包含 S,那么子序列 S 对答案的贡献就是 10。 |
| 96 | + |
| 97 | +那么问题转化为了: |
| 98 | + |
| 99 | +1. 求出和为 k 的子序列 |
| 100 | +2. 求出包含某个子序列的子序列的个数 |
| 101 | + |
| 102 | +对于第一个问题,本质就是对于每一个元素选择或者不选择,可以通过动态规划相对轻松地求出。伪代码: |
| 103 | + |
| 104 | +```py |
| 105 | +def f(i, k): |
| 106 | + if i == n: |
| 107 | + if k == 0: 找到了 |
| 108 | + else: 没找到 |
| 109 | + if k == 0: |
| 110 | + 没找到 |
| 111 | + f(i + 1, k) # 不选择 |
| 112 | + f(i + 1, k - nums[i]) # 选择 |
| 113 | +``` |
| 114 | + |
| 115 | +对于第二个问题,由于除了 S,**其他元素**都可以选择或者不选择,因此总共有 2ドル^{n-cnt}$ 种选择。其中 cnt 就是子序列 S 的长度。 |
| 116 | + |
| 117 | +两个问题结合起来,就可以求出答案了。具体可以看下面的代码。 |
| 118 | + |
| 119 | +## 关键点 |
| 120 | + |
| 121 | +- 分解问题 |
| 122 | + |
| 123 | +## 代码 |
| 124 | + |
| 125 | +- 语言支持:Python3 |
| 126 | + |
| 127 | +Python3 Code: |
| 128 | + |
| 129 | +```python |
| 130 | + |
| 131 | +class Solution: |
| 132 | + def sumOfPower(self, nums: List[int], k: int) -> int: |
| 133 | + n = len(nums) |
| 134 | + MOD = 10 ** 9 + 7 |
| 135 | + @cache |
| 136 | + def dfs(i, k): |
| 137 | + if k == 0: return pow(2, n - i, MOD) |
| 138 | + if i == n or k < 0: return 0 |
| 139 | + ans = dfs(i + 1, k) * 2 # 不选 |
| 140 | + ans += dfs(i + 1, k - nums[i]) # 选 |
| 141 | + return ans % MOD |
| 142 | + |
| 143 | + return dfs(0, k) |
| 144 | + |
| 145 | +``` |
| 146 | + |
| 147 | + |
| 148 | +**复杂度分析** |
| 149 | + |
| 150 | +令 n 为数组长度。 |
| 151 | + |
| 152 | +由于转移需要 O(1) 的时间,因此总时间复杂度为 O(n * k),除了存储递归结果的空间外,没有其他空间消耗,因此空间复杂度为 O(n * k)。 |
| 153 | + |
| 154 | +- 时间复杂度:$O(n * k)$ |
| 155 | +- 空间复杂度:$O(n * k)$ |
| 156 | + |
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| 158 | + |
| 159 | + |
| 160 | +> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。 |
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| 162 | +力扣的小伙伴可以[关注我](https://leetcode-cn.com/u/fe-lucifer/),这样就会第一时间收到我的动态啦~ |
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| 164 | +以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法,欢迎给我留言,我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库:https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。 |
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