Moment (probabilités)

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En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis.

Le moment dit « ordinaire » d’ordre ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }${\displaystyle r\in \mathbb {N} } de la variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}${\displaystyle X} est défini, s’il existe, par l'espérance de ${\displaystyle X^{r}}${\displaystyle X^{r}}^{[réf. nécessaire]}  :

${\displaystyle m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})}${\displaystyle m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})}

De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique ^{[réf. nécessaire]} .

Soit une fonction f : I → R continue sur un intervalle I (non réduit à un point) de R.

Étant donné un entier naturel r, le moment d’ordre r de f est défini, sous réserve d’existence, par^{[réf. nécessaire]}  :

${\displaystyle m_{r}(f)\triangleq \int _{x\in I}x^{r},円f(x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle m_{r}(f)\triangleq \int _{x\in I}x^{r},円f(x),円\mathrm {d} x}

Ce moment d’ordre r est considéré comme existant si et seulement si x^r f(x) est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si ∫_x∈I |x^r f(x)| dx converge. Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente^[1] , ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

Pour un entier naturel r donné, l’ensemble des fonctions continues sur I dont le moment d’ordre r existe est un espace vectoriel réel, et l’application m_r : f ↦ m_r(f) est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Soit X une variable aléatoire réelle définie sur I, de fonction de répartition F_X et de loi de probabilité p.

Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre r ∈ N de X est défini, s’il existe, par :

${\displaystyle m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})}${\displaystyle m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})}

On a donc, d’après le théorème de transfert :

${\displaystyle m_{r}=\int _{x\in I}x^{r},円\mathrm {d} F_{X}(x)}${\displaystyle m_{r}=\int _{x\in I}x^{r},円\mathrm {d} F_{X}(x)}

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

• si X est discrète : ${\displaystyle m_{r}=\sum _{k\in I}k^{r},円p_{k}}${\displaystyle m_{r}=\sum _{k\in I}k^{r},円p_{k}}
• si X est absolument continue : ${\displaystyle m_{r}=\int _{x\in I}x^{r},円p(x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle m_{r}=\int _{x\in I}x^{r},円p(x),円\mathrm {d} x}

D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors m₀ = 1.

On notera que, p étant positive ou nulle sur I (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre r est la convergence de ∑_k∈I |k|^r p_k ou de ∫_x∈I |x|^r p(x) dx selon le cas.

Le moment centré d’ordre r ∈ N de X est défini, s’il existe, par :

${\displaystyle \mu _{r}\triangleq \mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{r})}${\displaystyle \mu _{r}\triangleq \mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{r})}

On a donc, d’après le théorème de transfert :

${\displaystyle \mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r},円\mathrm {d} F_{X}(x)}${\displaystyle \mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r},円\mathrm {d} F_{X}(x)}

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

• si X est discrète : ${\displaystyle \mu _{r}=\sum _{k\in I}[k-\mathbb {E} (X)]^{r},円p_{k}}${\displaystyle \mu _{r}=\sum _{k\in I}[k-\mathbb {E} (X)]^{r},円p_{k}}
• si X est absolument continue : ${\displaystyle \mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r},円p(x),円\mathrm {d} x}${\displaystyle \mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r},円p(x),円\mathrm {d} x}

Par construction, on a alors μ₀ = 1 et μ₁ = 0.

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire μ_r(X) = m_r(X - E(X)).

En posant μ = m₁ et σ = √μ₂, le moment centré réduit d’ordre r ∈ ⟦2;+∞⟦ de X est défini, s’il existe, par :

${\displaystyle \beta _{r}\triangleq \mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{r}\right]}${\displaystyle \beta _{r}\triangleq \mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{r}\right]}

On a donc β_r = ^μ_r⁄_σ^r et, par construction, β₀ = 1.

Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le domaine fréquentiel. En considérant la densité spectrale de puissance Φ d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre i, noté ${\displaystyle m_{i}}${\displaystyle m_{i}}, peut s'écrire:

${\displaystyle m_{i}\left[\Phi (f)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(2\pi f)^{i}\Phi (f),円\mathrm {d} f}${\displaystyle m_{i}\left[\Phi (f)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(2\pi f)^{i}\Phi (f),円\mathrm {d} f}

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle X, sont connus sous un nom particulier :

• l’espérance, moment d’ordre un : ${\displaystyle \mu \triangleq m_{1}=\mathbb {E} (X)}${\displaystyle \mu \triangleq m_{1}=\mathbb {E} (X)} ;
• la variance, moment centré d’ordre deux : ${\displaystyle \operatorname {V} (X)\triangleq \mu _{2}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}${\displaystyle \operatorname {V} (X)\triangleq \mu _{2}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}, ainsi que sa racine carrée l’écart type : ${\displaystyle \sigma \triangleq {\sqrt {\operatorname {V} (X)}}={\sqrt {\mu _{2}}}}${\displaystyle \sigma \triangleq {\sqrt {\operatorname {V} (X)}}={\sqrt {\mu _{2}}}} ;
• le coefficient d’asymétrie, moment centré réduit d’ordre trois^[2]  : ${\displaystyle \gamma _{1}\triangleq \beta _{1}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]}${\displaystyle \gamma _{1}\triangleq \beta _{1}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]} ;
• le kurtosis non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : ${\displaystyle \beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]}${\displaystyle \beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]}.

La fonction génératrice des moments M_X d’une variable aléatoire réelle X est la série génératrice exponentielle associée à la suite (m_r)_r ∈ N des moments de X, définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :

${\displaystyle M_{X}(t)\triangleq \sum _{r=0}^{\infty }m_{r},円{\frac {t^{r}}{r!}}}${\displaystyle M_{X}(t)\triangleq \sum _{r=0}^{\infty }m_{r},円{\frac {t^{r}}{r!}}}

Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :

${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)}${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)}

Les dérivées itérées en 0 de cette série génératrice exponentielle valent :

${\displaystyle M_{X}^{(r)}(0)=m_{r}}${\displaystyle M_{X}^{(r)}(0)=m_{r}}

Soit [X] la dimension de la variable aléatoire réelle X.

Les moments ordinaire et centré d’ordre r, s’ils existent, ont pour dimension [X]^r.

Le moment centré réduit d’ordre r, s’il existe, est une grandeur sans dimension.

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :

${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{1}(\theta ,円X+\lambda )=\theta ,円m_{1}(X)+\lambda }${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{1}(\theta ,円X+\lambda )=\theta ,円m_{1}(X)+\lambda }

Le moment ordinaire d’ordre r > 1 de θ X + λ, s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre r de X :

${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{r}(\theta ,円X+\lambda )=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\theta ^{r-i},円\lambda ^{i},円m_{r-i}(X)=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\theta ^{i},円\lambda ^{r-i},円m_{i}(X)}${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{r}(\theta ,円X+\lambda )=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\theta ^{r-i},円\lambda ^{i},円m_{r-i}(X)=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\theta ^{i},円\lambda ^{r-i},円m_{i}(X)}

On retrouve ainsi la linéarité de m₁ et la constance de m₀.

Le moment centré d’ordre r, s’il existe, est invariant par translation et homogène de degré r :

${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},\mu _{r}(\theta ,円X+\lambda )=\theta ^{r},円\mu _{r}(X)}${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},\mu _{r}(\theta ,円X+\lambda )=\theta ^{r},円\mu _{r}(X)}

Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que σ soit non nul), le moment centré réduit d’ordre r, s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance r :

${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r-2}(\theta ,円X+\lambda )=\operatorname {sgn}(\theta )^{r},円\beta _{r-2}(X)}${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r-2}(\theta ,円X+\lambda )=\operatorname {sgn}(\theta )^{r},円\beta _{r-2}(X)}

La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

En distinguant selon le signe de θ et la parité de r, on peut donc écrire :

${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r}(\theta ,円X+\lambda )={\begin{cases}\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta >0{\text{ ou }}r{\text{ est pair}}\\-\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta <0{\text{ et }}r{\text{ est impair}}\end{cases}}}${\displaystyle \forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r}(\theta ,円X+\lambda )={\begin{cases}\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta >0{\text{ ou }}r{\text{ est pair}}\\-\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta <0{\text{ et }}r{\text{ est impair}}\end{cases}}}

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles, on a alors :

• ${\displaystyle m_{1}(X+Y)=m_{1}(X)+m_{1}(Y)}${\displaystyle m_{1}(X+Y)=m_{1}(X)+m_{1}(Y)}

Si X et Y sont indépendantes, on a en outre :

• ${\displaystyle \mu _{2}(X+Y)=\mu _{2}(X)+\mu _{2}(Y)}${\displaystyle \mu _{2}(X+Y)=\mu _{2}(X)+\mu _{2}(Y)}
• ${\displaystyle \mu _{3}(X+Y)=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)}${\displaystyle \mu _{3}(X+Y)=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)}

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités^[3] . Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.

Le moment centré d’ordre r, s’il existe, s’écrit :

${\displaystyle \mu _{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円m_{r-i},円(-m_{1})^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円m_{i},円(-m_{1})^{r-i}}${\displaystyle \mu _{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円m_{r-i},円(-m_{1})^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円m_{i},円(-m_{1})^{r-i}}

En rappelant que m₀ = 1, les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :

${\displaystyle \mu _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}}${\displaystyle \mu _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}}

${\displaystyle \mu _{3}=m_{3}-3,円m_{2},円m_{1}+2,円m_{1}^{3}}${\displaystyle \mu _{3}=m_{3}-3,円m_{2},円m_{1}+2,円m_{1}^{3}}

${\displaystyle \mu _{4}=m_{4}-4,円m_{3},円m_{1}+6,円m_{2},円m_{1}^{2}-3,円m_{1}^{4}}${\displaystyle \mu _{4}=m_{4}-4,円m_{3},円m_{1}+6,円m_{2},円m_{1}^{2}-3,円m_{1}^{4}}

${\displaystyle \mu _{5}=m_{5}-5,円m_{4},円m_{1}+10,円m_{3},円m_{1}^{2}-10,円m_{2},円m_{1}^{3}+4,円m_{1}^{5}}${\displaystyle \mu _{5}=m_{5}-5,円m_{4},円m_{1}+10,円m_{3},円m_{1}^{2}-10,円m_{2},円m_{1}^{3}+4,円m_{1}^{5}}

${\displaystyle \mu _{6}=m_{6}-6,円m_{5},円m_{1}+15,円m_{4},円m_{1}^{2}-20,円m_{3},円m_{1}^{3}+15,円m_{2},円m_{1}^{4}-5,円m_{1}^{6}}${\displaystyle \mu _{6}=m_{6}-6,円m_{5},円m_{1}+15,円m_{4},円m_{1}^{2}-20,円m_{3},円m_{1}^{3}+15,円m_{2},円m_{1}^{4}-5,円m_{1}^{6}}

Réciproquement, en posant μ = E(X), le moment ordinaire d’ordre r, s’il existe, s’écrit :

${\displaystyle m_{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\mu _{r-i},円\mu ^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\mu _{i},円\mu ^{r-i}}${\displaystyle m_{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\mu _{r-i},円\mu ^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i},円\mu _{i},円\mu ^{r-i}}

En rappelant que μ₀ = 1 et μ₁ = 0, les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de μ :

${\displaystyle m_{2}=\mu _{2}+\mu ^{2}}${\displaystyle m_{2}=\mu _{2}+\mu ^{2}}

${\displaystyle m_{3}=\mu _{3}+3,円\mu _{2},円\mu +\mu ^{3}}${\displaystyle m_{3}=\mu _{3}+3,円\mu _{2},円\mu +\mu ^{3}}

${\displaystyle m_{4}=\mu _{4}+4,円\mu _{3},円\mu +6,円\mu _{2},円\mu ^{2}+\mu ^{4}}${\displaystyle m_{4}=\mu _{4}+4,円\mu _{3},円\mu +6,円\mu _{2},円\mu ^{2}+\mu ^{4}}

${\displaystyle m_{5}=\mu _{5}+5,円\mu _{4},円\mu +10,円\mu _{3},円\mu ^{2}+10,円\mu _{2},円\mu ^{3}+\mu ^{5}}${\displaystyle m_{5}=\mu _{5}+5,円\mu _{4},円\mu +10,円\mu _{3},円\mu ^{2}+10,円\mu _{2},円\mu ^{3}+\mu ^{5}}

${\displaystyle m_{6}=\mu _{6}+6,円\mu _{5},円\mu +15,円\mu _{4},円\mu ^{2}+20,円\mu _{3},円\mu ^{3}+15,円\mu _{2},円\mu ^{4}+\mu ^{6}}${\displaystyle m_{6}=\mu _{6}+6,円\mu _{5},円\mu +15,円\mu _{4},円\mu ^{2}+20,円\mu _{3},円\mu ^{3}+15,円\mu _{2},円\mu ^{4}+\mu ^{6}}

À partir d’un échantillon {X₁, X₂, ..., X_n} de la variable aléatoire réelle X, on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre r, s’il existe, l’estimateur suivant :

${\displaystyle {\hat {m_{r}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{\ r}}${\displaystyle {\hat {m_{r}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{\ r}}

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments m_r d’une loi de probabilité p donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité p dont les moments m_r sont donnés.

Sur le modèle des moments E(X^r), d’autres moments peuvent être définis :

• le moment inverse en 0 d’ordre r sur I ∌ 0 : ${\displaystyle \mathbb {E} (X^{-r})}${\displaystyle \mathbb {E} (X^{-r})} ;
• le moment logarithmique d’ordre r sur I ⊂ R^*
  ₊ ;
  • le moment logarithmique d'ordre 1 apparait dans la définition de l'entropie de Shannon
• le moment factoriel d’ordre r : ${\displaystyle \mathbb {E} \left[(X)_{r}\right]}${\displaystyle \mathbb {E} \left[(X)_{r}\right]} (factorielle décroissante).

• Cumulant (statistiques)

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