Morphisme

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En mathématiques, en algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui préserve certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

La notion de morphisme se généralise en théorie des catégories où c'est l'un des concepts de base ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.

Soient ${\displaystyle {\mathcal {M}}}${\displaystyle {\mathcal {M}}} et ${\displaystyle {\mathcal {N}}}${\displaystyle {\mathcal {N}}} deux ${\displaystyle {\mathcal {L}}}${\displaystyle {\mathcal {L}}}-structures, d'ensembles respectifs ${\displaystyle M}${\displaystyle M} et ${\displaystyle N}${\displaystyle N}. Un morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}${\displaystyle {\mathcal {M}}} dans ${\displaystyle {\mathcal {N}}}${\displaystyle {\mathcal {N}}} est une application ${\displaystyle m}${\displaystyle m} de ${\displaystyle M}${\displaystyle M} dans ${\displaystyle N}${\displaystyle N} telle que :

• pour tout symbole de fonction ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-aire ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}}${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}} et pour tout ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}} on a ${\displaystyle m(f^{\mathcal {M}}(a_{i})_{i})=f^{\mathcal {N}}(m(a_{i}))_{i}}${\displaystyle m(f^{\mathcal {M}}(a_{i})_{i})=f^{\mathcal {N}}(m(a_{i}))_{i}} (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
• pour tout symbole de relation ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-aire ${\displaystyle R\in {\mathcal {L}}}${\displaystyle R\in {\mathcal {L}}} et pour tout ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}, si ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in R^{\mathcal {M}}}${\displaystyle (a_{i})_{i}\in R^{\mathcal {M}}} alors ${\displaystyle (m(a_{i}))_{i}\in R^{\mathcal {N}}}${\displaystyle (m(a_{i}))_{i}\in R^{\mathcal {N}}}

${\displaystyle c^{\mathcal {N}}}${\displaystyle c^{\mathcal {N}}} désignant l'interprétation du symbole ${\displaystyle c}${\displaystyle c} dans la structure ${\displaystyle {\mathcal {N}}}${\displaystyle {\mathcal {N}}}.

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application ${\displaystyle f:(M,*,e)\longrightarrow (M',\star ,e')}${\displaystyle f:(M,*,e)\longrightarrow (M',\star ,e')} entre deux monoïdes ${\displaystyle (M,*,e),円}${\displaystyle (M,*,e),円} et ${\displaystyle (M',\star ,e')}${\displaystyle (M',\star ,e')}, qui vérifie^[1]  :

• ${\displaystyle \forall (g,h)\in M^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}${\displaystyle \forall (g,h)\in M^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)} ;
• ${\displaystyle f(e)=e'}${\displaystyle f(e)=e'}.

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application ${\displaystyle f:(G,*)\longrightarrow (G',\star ),円}${\displaystyle f:(G,*)\longrightarrow (G',\star ),円}, entre deux groupes ${\displaystyle (G,*),円}${\displaystyle (G,*),円} et ${\displaystyle (G',\star ),円}${\displaystyle (G',\star ),円}, qui vérifie :

• ${\displaystyle \forall (g,h)\in G^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}${\displaystyle \forall (g,h)\in G^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}.

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence ${\displaystyle f(e)=e'}${\displaystyle f(e)=e'} et ${\displaystyle \forall x\in G,f(x^{-1})=(f(x))^{-1}}${\displaystyle \forall x\in G,f(x^{-1})=(f(x))^{-1}}.

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application ${\displaystyle f:A\to B}${\displaystyle f:A\to B} entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

• ${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a+_{A}b)=f(a)+_{B}f(b)}${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a+_{A}b)=f(a)+_{B}f(b)} ;
• ${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a*_{A}b)=f(a)*_{B}f(b)}${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a*_{A}b)=f(a)*_{B}f(b)} ;
• ${\displaystyle f\left(1_{A}\right)=1_{B}}${\displaystyle f\left(1_{A}\right)=1_{B}}.

dans lesquelles ${\displaystyle +_{A}}${\displaystyle +_{A}}, ${\displaystyle *_{A}}${\displaystyle *_{A}} et ${\displaystyle 1_{A}}${\displaystyle 1_{A}} (respectivement ${\displaystyle +_{B}}${\displaystyle +_{B}}, ${\displaystyle *_{B}}${\displaystyle *_{B}} et ${\displaystyle 1_{B}}${\displaystyle 1_{B}}) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux ${\displaystyle A}${\displaystyle A} et ${\displaystyle B}${\displaystyle B}.

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application ${\displaystyle f:E\to F}${\displaystyle f:E\to F}, entre deux K-espaces vectoriels ${\displaystyle (E,+_{E},\cdot _{E})}${\displaystyle (E,+_{E},\cdot _{E})} et ${\displaystyle (F,+_{F},\cdot _{F})}${\displaystyle (F,+_{F},\cdot _{F})}, qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

• ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est un morphisme de groupes de ${\displaystyle (E,+_{E})}${\displaystyle (E,+_{E})} dans ${\displaystyle (F,+_{F})}${\displaystyle (F,+_{F})} ;
• ${\displaystyle \forall x\in E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x)=\lambda \cdot _{F}f(x)}${\displaystyle \forall x\in E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x)=\lambda \cdot _{F}f(x)},

ce qui est équivalent à :

${\displaystyle \forall (x,y)\in E\times E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x+_{E}y)=\lambda \cdot _{F}f(x)+_{F}f(y)}${\displaystyle \forall (x,y)\in E\times E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x+_{E}y)=\lambda \cdot _{F}f(x)+_{F}f(y)}.

Dans le cas de deux ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-algèbres unifères ${\displaystyle (A,+,\times ,.)}${\displaystyle (A,+,\times ,.)} et ${\displaystyle (B,{\dot {+}},{\dot {\times }},.)}${\displaystyle (B,{\dot {+}},{\dot {\times }},.)}, un morphisme vérifie :

• ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est une application linéaire de ${\displaystyle A}${\displaystyle A} dans ${\displaystyle B}${\displaystyle B} ;
• ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :

• ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}} ;
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},~f(\lambda .x+\mu .y)=\lambda .f(x){\dot {+}}\mu .f(y)}${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},~f(\lambda .x+\mu .y)=\lambda .f(x){\dot {+}}\mu .f(y)} ;
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~f(x\times y)=f(x){\dot {\times }}f(y)}${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~f(x\times y)=f(x){\dot {\times }}f(y)}.

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y)^{[1] ,[2] ,[3]} .

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique^[1] .

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

• Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
• un isomorphisme est un morphisme ${\displaystyle f}${\displaystyle f} entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme ${\displaystyle f'}${\displaystyle f'} dans le sens inverse, tels que ${\displaystyle f\circ f'}${\displaystyle f\circ f'} et ${\displaystyle f'\circ f}${\displaystyle f'\circ f} sont les identités des structures ;
• un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
• un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi^[4] ) est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}${\displaystyle f:A\to B} tel que : pour tout couple ${\displaystyle g,h}${\displaystyle g,h} de morphismes de type ${\displaystyle B\to E}${\displaystyle B\to E} (et donc aussi pour tout ${\displaystyle E}${\displaystyle E}), si ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}${\displaystyle g\circ f=h\circ f}, alors ${\displaystyle g=h}${\displaystyle g=h} ;
• un monomorphisme (ou morphisme monique^[4] ) est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}${\displaystyle f:A\to B} tel que : pour tout couple ${\displaystyle g,h}${\displaystyle g,h} de morphismes de type ${\displaystyle E\to A}${\displaystyle E\to A} (et donc aussi pour tout ${\displaystyle E}${\displaystyle E}), si ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}${\displaystyle f\circ g=f\circ h}, alors ${\displaystyle g=h}${\displaystyle g=h}.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

• Antimorphisme
• Cryptomorphisme
• Morphisme de graphes
• Chiffrement homomorphe

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