Espace bidual
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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, on définit l'espace bidual[1] de l'espace vectoriel E comme étant l'espace dual E** de l'espace dual E* de E.
Application linéaire canonique
[modifier | modifier le code ]Dans la suite, on considère un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.
Il existe une application linéaire canonique [2] ,[3] iE de E dans son bidual, associant à un vecteur x de E la forme linéaire {\displaystyle x^{**}} sur E* définie par {\displaystyle x^{**}(h)=h(x)} pour toute forme linéaire h sur E. Autrement dit :
{\displaystyle i_{E}:\left\{{\begin{array}{lll}E&\to &E^{**}\\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lll}E^{*}&\to &K\\h&\mapsto &h(x).\end{array}}\right.\end{array}}\right.}
En d'autres termes, l'application linéaire iE associe à tout vecteur x de E l'application x** dans E** qui évalue en x les formes linéaires sur E.
Dimension finie
[modifier | modifier le code ]Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, iE est un isomorphisme (voir Base duale) donc E est canoniquement isomorphe à son bidual, ce qui permet en pratique de les identifier[2] ,[4] .
Dimension infinie
[modifier | modifier le code ]En dimension infinie, l'axiome du choix permet de montrer que cette application iE est injective [5] , mais iE n'est jamais surjective. En effet, le théorème d'Erdős-Kaplansky implique que la dimension de E** est strictement supérieure à celle de E.
Construction fonctorielle
[modifier | modifier le code ]La construction de i est fonctorielle [réf. nécessaire] dans le sens suivant. La fonctorialité est plus précise que la « canonicité ». La fonctorialité pour les isomorphismes {\displaystyle f} signifie l'indépendance vis-à-vis du choix d'une base.
Pour toute application linéaire {\displaystyle f:E\to F}, on a l'application duale {\displaystyle f^{*}:F^{*}\to E^{*}} et donc une application biduale {\displaystyle f^{**}:E^{**}\to F^{**}}. Alors les applications {\displaystyle i_{E}:E\to E^{**}} et {\displaystyle i_{F}:F\to F^{**}} vérifient {\displaystyle i_{F}f=f^{**}i_{E}}. Moralement, un isomorphisme fonctoriel est compatible avec toute opération linéaire.
Lorsque E est un espace vectoriel topologique, on prendra garde à l'existence d'une autre notion de dualité (puis de bidualité), qui prend en compte la structure supplémentaire ; on se réfèrera à l'article Dual topologique, et plus spécifiquement à la section intitulée « Bidual (topologique) ».
Références
[modifier | modifier le code ]- ↑ Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques - Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, , 3e éd. (lire en ligne), p. 98.
- ↑ a et b Ramis et Warusfel 2020, p. 101.
- ↑ Jean-Étienne Rombaldi, Mathématiques pour l'agrégation - Algèbre et géométrie, De Boeck Supérieur, , 2e éd. (lire en ligne), p. 445.
- ↑ M. Houimdi, Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire : Cours et exercices corrigés, Ellipses, (lire en ligne), p. 148.
- ↑ C. Antonini, Algèbre - 2ème année Prépas scientifiques , De Boeck Supérieur, (lire en ligne), p. 183.