Associativité

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, l'associativité est une propriété de certaines opérations binaires ou lois de compositions internes, selon laquelle le réarrangement des parenthèses dans une expression ne modifie pas le résultat. On peut alors se passer de parenthèses dans l'écriture des opérations.

Une loi de composition interne ou loi interne ${\displaystyle \star }${\displaystyle \star } sur un ensemble E est dite associative si pour tous x, y et z dans E^{[1] ,[2]}  :

${\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)}${\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)}.

On peut alors écrire le résultat sous la forme ${\displaystyle x\star y\star z}${\displaystyle x\star y\star z}.

En notation préfixée, la relation s'écrit : ${\displaystyle \star (\star (x,y),z)=\star (x,\star (y,z))}${\displaystyle \star (\star (x,y),z)=\star (x,\star (y,z))}.

En notant ${\displaystyle m:E\times E\to E,\;(x,y)\mapsto x\star y}${\displaystyle m:E\times E\to E,\;(x,y)\mapsto x\star y}, l'associativité se traduit par le diagramme commutatif suivant :

Parmi les lois associatives, on peut citer les lois d'addition et de multiplication des nombres réels, des nombres complexes et des matrices carrées, l'addition des vecteurs, et l'intersection, la réunion d'ensembles. Aussi, si ${\displaystyle E}${\displaystyle E} est un ensemble quelconque et ${\displaystyle E^{E}}${\displaystyle E^{E}} désigne l'ensemble de toutes les applications de ${\displaystyle E}${\displaystyle E} vers ${\displaystyle E}${\displaystyle E}, alors l'opération, notée ${\displaystyle \circ }${\displaystyle \circ }, de composition des application sur ${\displaystyle E^{E}}${\displaystyle E^{E}} est associative.

Parmi les lois non associatives, on peut citer par exemple le produit vectoriel sur un espace euclidien orienté de dimension 3.

Un autre exemple est la soustraction des nombres réels. En effet :

${\displaystyle (30-20)-10=10-10=0}${\displaystyle (30-20)-10=10-10=0} et ${\displaystyle 30-(20-10)=30-10=20}${\displaystyle 30-(20-10)=30-10=20}

donc

${\displaystyle (30-20)-10\neq 30-(20-10)}${\displaystyle (30-20)-10\neq 30-(20-10)}.

Un ensemble muni d'une loi interne associative est appelé un demi-groupe ; si de plus la loi est unifère, on parle de monoïde.

On peut écrire un algorithme qui, pour un magma fini d'ordre ${\displaystyle n}${\displaystyle n} de table de Cayley donnée, détermine s'il est un groupe ou non en ${\displaystyle O(n^{2})}${\displaystyle O(n^{2})} opérations élémentaires^[3] , la difficulté majeure étant de décider de l'associativité de la loi.

Soit ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } un ensemble muni d'une loi interne ${\displaystyle \star }${\displaystyle \star } et un ensemble ${\displaystyle E}${\displaystyle E} muni d'une loi de composition externe à opérateurs dans ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } ${\displaystyle \bullet :\Omega \times E\rightarrow E}${\displaystyle \bullet :\Omega \times E\rightarrow E} ; ces deux lois vérifient la propriété d'associativité si pour tout ${\displaystyle \lambda ,\mu }${\displaystyle \lambda ,\mu } de ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } et tout x de ${\displaystyle E}${\displaystyle E}, on a ^[2] :

${\displaystyle (\lambda \star \mu )\bullet x=\lambda \bullet (\mu \bullet x)}${\displaystyle (\lambda \star \mu )\bullet x=\lambda \bullet (\mu \bullet x)}.

C'est par exemple l'une des propriétés requise pour la structure de K-espace vectoriel.

• Le nombre de lois associatives, soit le nombre de structures de demi-groupe sur un ensemble fini à ${\displaystyle n}${\displaystyle n} éléments, ne possède pas actuellement de formule « fermée » ; il est donné par la suite A023814 de l'OEIS. Plus précisément :

${\displaystyle n}${\displaystyle n}	0	1	2	3	4	5	OEIS
nombre de lois associatives	1	1	8	113	3492	183732	suite A023814 de l'OEIS
idem, à isomorphisme près	1	1	5	24	188	1915	suite A027851 de l'OEIS
idem, à isomorphisme près et anti-isomorphisme près	1	1	4	18	126	1160	suite A001423 de l'OEIS

• Le nombre de façons différentes de placer des parenthèses autour de ${\displaystyle n+1}${\displaystyle n+1} termes, pour préciser une expression faisant intervenir ${\displaystyle n}${\displaystyle n} fois une loi de composition interne est égal au nombre de Catalan ${\displaystyle C_{n}}${\displaystyle C_{n}} . En cas d'associativité, ces ${\displaystyle C_{n}}${\displaystyle C_{n}} expressions sont égales. Par exemple, ${\displaystyle C_{3}=5}${\displaystyle C_{3}=5}: en notation multiplicative, ${\displaystyle a(b(cd))=a((bc)d)=(ab)(cd)=(a(bc))d=((ab)c)d=abcd}${\displaystyle a(b(cd))=a((bc)d)=(ab)(cd)=(a(bc))d=((ab)c)d=abcd}.

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