Zeta-Funktion

Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta }-Funktion in der Mathematik die holomorphe ^[1] komplexe Funktion

${\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\quad }${\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\quad }, mit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,,円\Re (z)>1}${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,,円\Re (z)>1}

gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.

Einige Werte sind^[2]

${\displaystyle \zeta (1)=\infty }${\displaystyle \zeta (1)=\infty }

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

${\displaystyle \zeta (3)=1{,}2020569032...}${\displaystyle \zeta (3)=1{,}2020569032...}

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

${\displaystyle \zeta (5)=1{,}0369277551...}${\displaystyle \zeta (5)=1{,}0369277551...}

${\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}}${\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

${\displaystyle \zeta (7)=1{,}0083492774...}${\displaystyle \zeta (7)=1{,}0083492774...}

${\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}${\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}

${\displaystyle \zeta (9)=1{,}0020083928...}${\displaystyle \zeta (9)=1{,}0020083928...}

Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.

Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:

• Airysche Zeta-Funktion
• Artin-Mazursche Zeta-Funktion
• Dedekindsche Zeta-Funktion
• Epsteinsche Zeta-Funktion
• Hasse-Weil-Zetafunktion
• Hurwitzsche Zeta-Funktion
• Igusa-Zetafuntkion
• Ihara-Zetafunktion
• Jacobische Zetafunktion
• Lefschetzsche Zeta-Funktion
• Lerchsche Zeta-Funktion
• Ninitsche Zeta-Funktion
• Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion
• Selbergsche Zeta-Funktion
• Weierstraßsche Zeta-Funktion
• Primzetafunktion

Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta" im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion ${\displaystyle \eta }${\displaystyle \eta } und die dirichletsche Beta-Funktion ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta }.

• Pierre Cartier: An introduction to Zeta Functions, in M. Waldschmidt u. a. (Hrsg.), From Number Theory to Physics, Springer 1992, S. 1–63
• Anton Deitmar: A panorama of Zeta functions, in E. Kähler, Mathematical Works, De Gruyter 2003, Arxiv
• Mircea Mustaţă: Zeta functions in algebraic geometry, Vorlesung 2011 (PDF)
• Bernhard Schiekel: Zetafunktionen in der Physik – eine Einführung doi:10.18725/OPARU-4418 .
• Alan David Thomas: Zeta-Functions: an introduction to algebraic geometry, Pitman 1977

• A Dictionary of All Known Zeta Functions

1. ↑ Brockhaus Enzyklopädie in 24 Bänden, 19. Aufl., Bd. 18, S. 407, Mannheim 1992.
2. ↑ CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, ed. Eric W. Weinstein. Chapman&Hall: Boca Raton [u. a.]. 2nd ed. 2003, S. 2564.

• Analytische Funktion