Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als symmetrische (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen bezeichnet man in der Stochastik spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass (im einfachsten Fall) die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als ${\displaystyle -x}${\displaystyle -x} zu erhalten, immer gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als ${\displaystyle x}${\displaystyle x} zu erhalten. Besitzt eine Zufallsvariable eine symmetrische Verteilung, so nennt man sie auch eine symmetrische Zufallsvariable.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}${\displaystyle P} auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} heißt symmetrisch (um Null), wenn für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }${\displaystyle x\in \mathbb {R} } gilt:

${\displaystyle P((-\infty ,-x])=P([x,+\infty ))}${\displaystyle P((-\infty ,-x])=P([x,+\infty ))}

Analog heißt eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch (um Null), wenn die Verteilung von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} mit der Verteilung von ${\displaystyle -X}${\displaystyle -X} übereinstimmt, es gilt also

${\displaystyle P_{X}=P_{-X}}${\displaystyle P_{X}=P_{-X}}  bzw.  ${\displaystyle X,円,円{\stackrel {\mathcal {D}}{=}},円-X}${\displaystyle X,円,円{\stackrel {\mathcal {D}}{=}},円-X}.

Allgemeiner heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}${\displaystyle P} auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}symmetrisch um ${\displaystyle a}${\displaystyle a}, wenn

${\displaystyle P((-\infty ,a-x])=P([a+x,+\infty ))}${\displaystyle P((-\infty ,a-x])=P([a+x,+\infty ))}

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }${\displaystyle x\in \mathbb {R} } gilt, ebenso wie eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um ${\displaystyle a}${\displaystyle a} heißt, wenn

${\displaystyle X-a,円,円{\stackrel {\mathcal {D}}{=}},円-(X-a)}${\displaystyle X-a,円,円{\stackrel {\mathcal {D}}{=}},円-(X-a)}

gilt.

• Die Gleichverteilung ist symmetrisch um ihren Erwartungswert.
• Die Normalverteilung ${\displaystyle N(\mu ,\sigma )}${\displaystyle N(\mu ,\sigma )} ist symmetrisch um ihren Erwartungswert ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu }.
• Nicht symmetrisch, also um keinen Punkt symmetrisch, sind zum Beispiel die Exponentialverteilung oder die Poisson-Verteilung.

Die Symmetrie einer Zufallsvariablen/Verteilung kann auch über ihre Verteilungsfunktion charakterisiert oder definiert werden. Bezeichnet man mit ${\displaystyle F_{-}(x)}${\displaystyle F_{-}(x)} den linksseitigen Grenzwert an der Stelle ${\displaystyle x}${\displaystyle x}, so ist die Verteilung bzw. Zufallsvariable genau dann symmetrisch um Null, wenn

${\displaystyle F(-x)+F_{-}(x)=1}${\displaystyle F(-x)+F_{-}(x)=1}

für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }${\displaystyle x\in \mathbb {R} } gilt und genau dann symmetrisch um ${\displaystyle a}${\displaystyle a}, wenn

${\displaystyle F(a-x)+F_{-}(a+x)=1}${\displaystyle F(a-x)+F_{-}(a+x)=1}.

Die Symmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch direkt über die Wahrscheinlichkeits(dichte)funktionen der Verteilung definieren:

• Ist ${\displaystyle P}${\displaystyle P} eine absolutstetige Verteilung, so ist ${\displaystyle P}${\displaystyle P} genau dann symmetrisch um ${\displaystyle a}${\displaystyle a}, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion achsensymmetrisch bzgl. der Achse ${\displaystyle x=a}${\displaystyle x=a} ist.
• Ist ${\displaystyle P}${\displaystyle P} eine diskrete Verteilung auf den reellen Zahlen, so ist ${\displaystyle P}${\displaystyle P} genau dann symmetrisch um ${\displaystyle a}${\displaystyle a}, wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion achsensymmetrisch bzgl. der Achse ${\displaystyle x=a}${\displaystyle x=a} ist.

Das Symmetriezentrum stimmt immer mit einem Median überein, ebenso der Erwartungswert falls dieser existiert. Dies muss aber bei symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer der Fall sein wie die Standard-Cauchy-Verteilung zeigt: Sie ist symmetrisch um Null, ihr Erwartungswert existiert aber nicht.

Allgemein gilt: ist ${\displaystyle X}${\displaystyle X} eine um ${\displaystyle a}${\displaystyle a} symmetrische Zufallsvariable und existiert ihr ${\displaystyle (2k+1)}${\displaystyle (2k+1)}-tes Moment, so ist

${\displaystyle \operatorname {E} ((X-a)^{2k+1})=0}${\displaystyle \operatorname {E} ((X-a)^{2k+1})=0}.

Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist genau dann reellwertig, wenn die Verteilung symmetrisch um Null ist, und dann gilt

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\cos(tX))}${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\cos(tX))}.

Des Weiteren ermöglicht der Satz von Pólya die Konstruktion von Funktionen, die stets charakteristische Funktion einer um Null symmetrischen Verteilung sind.

• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 38, doi:10.1007/978-3-642-17261-8 . 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 244–245, doi:10.1007/978-3-642-45387-8 . 
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg / Dordrecht / London / New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6 . 

• Wahrscheinlichkeitsverteilung