Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form ${\displaystyle \left\{p,q,r,\dots \right\}}${\displaystyle \left\{p,q,r,\dots \right\}} benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn ${\displaystyle p}${\displaystyle p} eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ${\displaystyle {p}}${\displaystyle {p}} ein regelmäßiges Polygon (${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Eck).

Ist ${\displaystyle p}${\displaystyle p} ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol ${\displaystyle \left\{p,q\right\}}${\displaystyle \left\{p,q\right\}} beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Ecke, wobei ${\displaystyle q}${\displaystyle q} angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

${\displaystyle \left(\right)}${\displaystyle \left(\right)} bezeichnet einen Punkt.

${\displaystyle \left\{\right\}}${\displaystyle \left\{\right\}} bezeichnet eine Strecke.

${\displaystyle \left\{n\right\}}${\displaystyle \left\{n\right\}} bezeichnet ein regelmäßiges ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Eck${\displaystyle .}${\displaystyle .}

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen ${\displaystyle \left\{n/k\right\}}${\displaystyle \left\{n/k\right\}}, wobei ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-te Punkt verbunden wird.

Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal

• immer einer (beim ${\displaystyle \left\{5/2\right\}}${\displaystyle \left\{5/2\right\}}) oder
• immer zwei Punkte (beim ${\displaystyle \left\{5/3\right\}}${\displaystyle \left\{5/3\right\}}) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.

${\displaystyle \left\{p,q\right\}}${\displaystyle \left\{p,q\right\}}: p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

${\displaystyle \left\{3,3\right\}}${\displaystyle \left\{3,3\right\}} bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

${\displaystyle \left\{3,4\right\}}${\displaystyle \left\{3,4\right\}} bezeichnet das Oktaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}${\displaystyle \left\{4,3\right\}} den zum Oktaeder dualen Würfel.

${\displaystyle \left\{3,5\right\}}${\displaystyle \left\{3,5\right\}} bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{5,3\right\}}${\displaystyle \left\{5,3\right\}} das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

${\displaystyle \left\{3,6\right\}}${\displaystyle \left\{3,6\right\}} bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion ${\displaystyle \left\{6,3\right\}}${\displaystyle \left\{6,3\right\}} die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

${\displaystyle \left\{4,4\right\}}${\displaystyle \left\{4,4\right\}} bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

• Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers ${\displaystyle \left\{m,n\right\}}${\displaystyle \left\{m,n\right\}} von dem eines Platonischen Parketts ${\displaystyle \left\{m,n\right\}}${\displaystyle \left\{m,n\right\}} unterscheidet, ist, dass für einen Körper ${\displaystyle 2\cdot (m+n)>m\cdot n}${\displaystyle 2\cdot (m+n)>m\cdot n} gilt, für ein Parkett hingegen ${\displaystyle 2\cdot (m+n)=m\cdot n}${\displaystyle 2\cdot (m+n)=m\cdot n}.

${\displaystyle \left\{3,5/2\right\}}${\displaystyle \left\{3,5/2\right\}} bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{5/2,3\right\}}${\displaystyle \left\{5/2,3\right\}} das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

${\displaystyle \left\{5,5/2\right\}}${\displaystyle \left\{5,5/2\right\}} bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion ${\displaystyle \left\{5/2,5\right\}}${\displaystyle \left\{5/2,5\right\}} das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

${\displaystyle \left\{3,3,3\right\}}${\displaystyle \left\{3,3,3\right\}} bezeichnet das Pentachoron,

${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}}${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}} den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale ${\displaystyle \left\{3,3,4\right\}}${\displaystyle \left\{3,3,4\right\}} dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

${\displaystyle \left\{3,4,3\right\}}${\displaystyle \left\{3,4,3\right\}} den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

${\displaystyle \left\{3,3,3,3\right\}}${\displaystyle \left\{3,3,3,3\right\}} oder ${\displaystyle \left\{3^{4}\right\}}${\displaystyle \left\{3^{4}\right\}} bezeichnet das 5-Simplex ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{5}}${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{5}}.

${\displaystyle \left\{3,3,3,3,3\right\}}${\displaystyle \left\{3,3,3,3,3\right\}} oder ${\displaystyle \left\{3^{5}\right\}}${\displaystyle \left\{3^{5}\right\}} bezeichnet das 6-Simplex ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{6}}${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{6}}.

${\displaystyle \left\{3^{d-1}\right\}}${\displaystyle \left\{3^{d-1}\right\}} bezeichnet das d-Simplex ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\;\!\!d}}${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\;\!\!d}}.

• Coxeter-Diagramm

• Harold Scott MacDonald Coxeter: Regular Polytopes. New York, Pitman 1948; 2. Auflage, MacMillan 1963; 3. Auflage, Dover 1983.

• Eric W. Weisstein: Schläfli-Symbol. In: MathWorld (englisch).

• Euklidische Geometrie