Quadratfreie Zahl

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung ${\displaystyle n=p_{1}\cdots p_{k}}${\displaystyle n=p_{1}\cdots p_{k}} einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·3²·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, ... (Folge A005117 in OEIS)

Die Möbiusfunktion ${\displaystyle \mu (n)}${\displaystyle \mu (n)} an der Stelle ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist genau dann ungleich 0, wenn ${\displaystyle n}${\displaystyle n} quadratfrei ist.

Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.

Eine Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61,円\%}${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61,円\%}, wobei ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta } die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}${\displaystyle \{1,\dots ,N\}} gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für ${\displaystyle N\rightarrow \infty }${\displaystyle N\rightarrow \infty } gegen ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}}${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}}.

Ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle x}${\displaystyle x} eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung ${\displaystyle x=\varepsilon \cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}}${\displaystyle x=\varepsilon \cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}} (wobei ${\displaystyle \varepsilon }${\displaystyle \varepsilon } eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten ${\displaystyle \alpha _{i}}${\displaystyle \alpha _{i}} gleich 1 sind.

Es sei ${\displaystyle P(x)\in K[X]}${\displaystyle P(x)\in K[X]} und ${\displaystyle P'(x)}${\displaystyle P'(x)} die formale Ableitung, dann ist ${\displaystyle P(x)}${\displaystyle P(x)} quadratfrei, wenn ${\displaystyle {\text{ggT}}(P(x),P'(x))=1}${\displaystyle {\text{ggT}}(P(x),P'(x))=1} ist. Somit ist für beliebiges ${\displaystyle P(x)}${\displaystyle P(x)} das Polynom ${\displaystyle P(x)/{\text{ggT}}(P(x),P'(x))}${\displaystyle P(x)/{\text{ggT}}(P(x),P'(x))} immer quadratfrei.

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-18078-1. 

• Eric W. Weisstein: Quadratfreie Zahl. In: MathWorld (englisch).

• Zahlentheorie