Dimensionslose Größe

Eine dimensionslose Größe, auch Größe mit der Einheit Eins, Größe der Dimension Eins oder Größe der Dimension Zahl, ist eine physikalische Größe, zu deren quantitativen Beschreibung man keine Einheit benötigt, die formal gesehen also die Dimension einer Zahl beziehungsweise der Eins hat. Dimension ist hierbei im Sinne der Dimension eines Größensystems zu verstehen, wie etwa „Länge" oder „Temperatur", nicht im Sinne einer mathematischen Raumdimension. Dimensionslose Größen können beispielsweise Anzahlen, Winkel oder Quotienten zweier Größen gleicher Dimension sein.

Beispiele für dimensionslose Größen sind:

• Anzahlen, mit Ausnahme der Stoffmenge, die ihre eigene Dimension hat.
• Quotienten aus zwei dimensionsgleichen Größen. Beispiele sind Permeabilitätszahl, Brechungsindex, Massenanteil, Wirkungsgrad.
• Dimensionslose Kennzahlen (auch als Kenngrößen bezeichnet), wie die Mach-Zahl oder Reynolds-Zahl
• Ebene Winkel und Raumwinkel
• Logarithmische Größenverhältnisse, wie Schalldruckpegel und pH-Wert
• Wahrscheinlichkeiten

Eine dimensionslose Naturkonstante ist die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante.

Auch bei der Verwendung natürlicher Einheiten in manchen Teilgebieten der theoretischen Physik ist es üblich, die betreffenden Größen formal als dimensionslose Größen zu behandeln.

Dimensionslose Größen „sind einfach Zahlen",^[1] die Maßeinheit ist daher die Zahl „Eins",^[1] die normalerweise nicht geschrieben wird.^[2] Aus Gründen der Klarheit^[3] ist es jedoch in vielen Fällen üblich, so genannte Hilfsmaßeinheiten zu verwenden:

• für Anzahlen: Zähleinheiten, wie das Dutzend,
• für Bruchteile: Prozent, Promille, ppm,
• für ebene Winkel und Raumwinkel: Radiant bzw. Steradiant, die „aus historischen Gründen und per Konvention"^[1] als abgeleiteten SI-Einheiten gelten,
• für logarithmische Größenverhältnisse: Einheiten wie Bel und Neper.

Im internationalen Größensystem ISQ mit seinen sieben Basisgrößen und sieben Dimensionen mit den Dimensionszeichen ${\displaystyle {\mathsf {T,L,M,I,\Theta ,N,J}}}${\displaystyle {\mathsf {T,L,M,I,\Theta ,N,J}}} hat jede Größe ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q} die Dimension^[1]

${\displaystyle \dim Q={\mathsf {T}}^{\alpha }\ {\mathsf {L}}^{\beta }\ {\mathsf {M}}^{\gamma }\ {\mathsf {I}}^{\delta }\ {\mathsf {\Theta }}^{\varepsilon }\ {\mathsf {N}}^{\zeta }\ {\mathsf {J}}^{\eta }\ .}${\displaystyle \dim Q={\mathsf {T}}^{\alpha }\ {\mathsf {L}}^{\beta }\ {\mathsf {M}}^{\gamma }\ {\mathsf {I}}^{\delta }\ {\mathsf {\Theta }}^{\varepsilon }\ {\mathsf {N}}^{\zeta }\ {\mathsf {J}}^{\eta }\ .}

Bei einer dimensionslosen Größe ist jeder Dimensionsexponent null, also ${\displaystyle \dim Q={\mathsf {1}}}${\displaystyle \dim Q={\mathsf {1}}}, wobei ${\displaystyle {\mathsf {1}}}${\displaystyle {\mathsf {1}}} nicht die Zahl Eins ist, sondern das neutrale Element für die Multiplikation von Dimensionen des Größensystems.^[4] Der Wert der Größe wird durch eine Zahl angegeben.

Grundsätzlich hängt es von der für ein Größensystem gewählten Basis ab, welche abgeleiteten Größen welche Dimension haben, und somit auch, welche Größen (außer den Quotienten dimensionsgleicher Größen) dimensionslos sind. So sind im elektrostatischen und im gaußschen CGS-System die elektrische Kapazität und die Länge von gleicher Dimension. Jeder Quotient dieser Größen ist daher dimensionslos.

Eine große Rolle spielen dimensionslose Größen in der Ähnlichkeitstheorie, die unter anderem in der Strömungsmechanik angewendet wird: Das Buckinghamsche Π-Theorem als grundlegendes Theorem der Ähnlichkeitstheorie ermöglicht es, die Form physikalischer Gleichungen dimensionsbehafteter Größen mittels dimensionsloser Kennzahlen zu beschreiben. In der theoretischen Physik sind die dimensionslosen Kopplungskonstanten, die die relative Stärke der fundamentalen Wechselwirkungen angeben, von besonderer Bedeutung.

Das Internationale Büro für Maß und Gewicht (BIPM) veröffentlichte 2024 als Ergebnis jahrelanger Entscheidungsfindung^[5] eine Regelung für „Größen die so definiert sind, dass alle Dimensionsexponenten null sind" und verwendet ausschließlich die Bezeichnung „Größen mit der Einheit Eins" (quantities with the unit one).^[1] Weiter heißt es: „Die Maßeinheit ‚Eins‘ ist das neutrale Element jedes Einheitensystems, muss daher nicht explizit eingeführt werden."

Die Norm ISO/IEC-80000-6:2022 spricht von „Größen der Dimension Eins, auch dimensionslose Größen genannt." Die kohärente Einheit ist die Zahl Eins. „Das Einheitensymbol 1 wird gewöhnlich weggelassen."^[2] Die Norm ISO 80000-1:2022 stellt fest, dass es für die Bezeichnung keinen Konsens gibt und nennt an erster Stelle „Dimension Eins".^[3]

Das zweisprachige internationale Wörterbuch der Metrologie (VIM) verwendet in seiner englischen Fassung die Bezeichnung „Größe der Dimension Eins" und alternativ „dimensionslose Größe" mit dem Hinweis, dass Letztgenanntes eine gängige Benennung ist und aus historischen Gründen beibehalten wird. Die französische Fassung nennt diese beiden Benennungen ebenfalls, aber hier ist „dimensionslose Größe" an erste Stelle gesetzt.^[6] Das internationale elektrotechnische Wörterbuch schließt sich dem an, nennt aber in der deutschen Version „Größe der Dimension Eins" und „Größe der Dimension Zahl", während „dimensionslose Größe" abgelehnt wird.^[4]

Um die Jahrtausendwende wurde erwogen, für dimensionslose Größen die Einheit „Uno" (Symbol: U) einzuführen, was den Vorteil gehabt hätte, dass man diese Einheit mit SI-Präfixen versehen könnte.^{[7] [8]} Angesichts der fast durchweg negativen Rückmeldungen wurde 2004 beschlossen, diese Idee nicht weiterzuverfolgen.^[9]

Nach DIN 5485 Benennungsgrundsätze für physikalische Größen; Wortzusammensetzungen mit Eigenschafts- und Grundwörtern, die Regeln zur Neubenennung von physikalischen Größen enthält, für die noch kein Name vorliegt, sind folgende Wortbestandteile vorgesehen:

• -anteil
• -beiwert
• -faktor
• -grad
• -quote
• -verhältnis
• -zahl

Historische Benennungen solcher Größen enthalten auch die Endungen ‐modul oder ‐index.

An der Endung ‐koeffizient ist die Dimension nicht zu erkennen. So ist der Reibungskoeffizient dimensionslos, aber der Wärmeausdehnungskoeffizient hat die Dimension „Temperatur hoch minus eins".

• Dimensionsanalyse
• Entdimensionalisierung

1. 1 2 3 4 5 BIPM (Hrsg.): Le Système international d'unités / The International System of Units (SI). 9. Auflage, Version 3.01. 2024, Kap. 2.3.3, S. 24 (französisch), S. 136 (englisch) (bipm.org [abgerufen am 22. April 2025]).
2. 1 2 ISO/IEC 80000-6:2022 – Kapitel 0.2.2 Remark on units for quantities of dimension one, or dimensionless quantities: „The coherent unit for any quantitiy of dimension one, also called dimensionless quantity, is the number one, symbol 1. When the value of such a quantity is expressed, the unit symbol 1 is generally not written out explicitly."
3. 1 2 ISO 80000-1:2022 – Kapitel 5 Dimensions: „There is no agreement on how to refer to such quantities. They have been called dimensionless quantities (although this term should now be avoided), quantities with dimension one, quantities with dimension number, or quantities with the unit one. Such quantities are dimensionally simply numbers. To avoid confusion, it is helpful to use explicit units with these quantities where possible, e.g., m/m, nmol/mol, rad, [...]"
4. 1 2 International Electrotechnical Commission (IEC): Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch, Eintrag 112-01-13 – „quantity of dimension one / dimensionless quantity" (abgerufen am 9. Juni 2026).
5. ↑ Richard J. C. Brown et al. Report of the CCU/CCQM Workshop on "The Metrology of Quantities Which Can Be Counted" Metrology 2023, 3(3), 309–324; doi:10.3390/metrology3030019
6. ↑ Internationales Büro für Maß und Gewicht: JCGM 200:2012 – International Vocabulary of Metrology – Basic and general concepts and associated Terms, 3. Auflage von 2008 in der Version von 2012, Kap. 1.8, DOI:10.59161/JCGM200-2012
7. ↑ Tagungsbericht der 21. Generalkonferenz für Maß und Gewicht 1999 – Bericht des CCU, 1999, Seite 119 (französisch) und Seite 310 (englisch), abgerufen am 25. Mai 2026.
8. ↑ Tagungsbericht der 22. Generalkonferenz für Maß und Gewicht 2003 – Bericht des CCU, und Seite 358 (englisch), abgerufen am 25. Mai 2026.
9. ↑ Consultative Committee for Units (CCU) – Report of the 16th meeting (13–14 May 2004) to the International Committee for Weights and Measures, Kap. 5, S. 13, Hrsg.: BIPM