Dedekindsche Psi-Funktion

Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch

${\displaystyle \forall \ n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \psi (n)=n\cdot \prod _{p|n \atop p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}${\displaystyle \forall \ n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \psi (n)=n\cdot \prod _{p|n \atop p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}

definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von ${\displaystyle n.}${\displaystyle n.}

Nach Definition des leeren Produkts ist

${\displaystyle \psi (1)=1.}${\displaystyle \psi (1)=1.}

Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:

${\displaystyle \psi (2)=2\left(1+{\frac {1}{2}}\right)=3}${\displaystyle \psi (2)=2\left(1+{\frac {1}{2}}\right)=3}

${\displaystyle \psi (3)=3\left(1+{\frac {1}{3}}\right)=4}${\displaystyle \psi (3)=3\left(1+{\frac {1}{3}}\right)=4}

Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ....^[1]

• Die ${\displaystyle \psi }${\displaystyle \psi }-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist ${\displaystyle \psi (n)}${\displaystyle \psi (n)} größer als ${\displaystyle n}${\displaystyle n} und gerade:

${\displaystyle \psi (n)>n\qquad \qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} ,円n>1}${\displaystyle \psi (n)>n\qquad \qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} ,円n>1}

${\displaystyle \psi (n)\equiv 0\mod 2\;\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} ,円n>2}${\displaystyle \psi (n)\equiv 0\mod 2\;\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} ,円n>2}

• Für Primzahlen ${\displaystyle p}${\displaystyle p} gilt:

${\displaystyle \psi (p)=p+1=\varphi (p)+2}${\displaystyle \psi (p)=p+1=\varphi (p)+2}

Dabei ist ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die Anzahl ${\displaystyle \varphi (n)}${\displaystyle \varphi (n)} der zu ${\displaystyle n}${\displaystyle n} teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als ${\displaystyle n}${\displaystyle n} sind.

• Die ${\displaystyle \psi }${\displaystyle \psi }-Funktion kann auch durch

${\displaystyle \psi (p^{k})=(p+1)\cdot p^{k-1}}${\displaystyle \psi (p^{k})=(p+1)\cdot p^{k-1}}

für Potenzen von Primzahlen ${\displaystyle p}${\displaystyle p} mit positiven natürlichen Hochzahlen ${\displaystyle k}${\displaystyle k} und der Festlegung, dass ${\displaystyle \psi }${\displaystyle \psi } multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert ${\displaystyle \psi (n)}${\displaystyle \psi (n)} für ein beliebiges ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n.}${\displaystyle n.}

• Mit der Riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta } gilt:

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}}${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}}

• Eric W. Weisstein: Dedekind Function. In: MathWorld (englisch).
• J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19–27.

1. ↑ Folge A001615 in OEIS

• Zahlentheoretische Funktion