Coxeter-Gruppe

In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.

Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentierung

${\displaystyle W=\langle r_{1},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }${\displaystyle W=\langle r_{1},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }

mit ${\displaystyle m_{ii}=1}${\displaystyle m_{ii}=1} und ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2} für ${\displaystyle i\not =j}${\displaystyle i\not =j}.

Die Bedingung ${\displaystyle m_{ij}=\infty }${\displaystyle m_{ij}=\infty } bedeutet, dass ${\displaystyle (r_{i}r_{j})}${\displaystyle (r_{i}r_{j})} unendliche Ordnung haben.

Das Paar ${\displaystyle (W,S)}${\displaystyle (W,S)}, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe ${\displaystyle W}${\displaystyle W} und einer Menge aus Erzeugern ${\displaystyle S=\left\{r_{1},\ldots ,r_{n}\right\}}${\displaystyle S=\left\{r_{1},\ldots ,r_{n}\right\}}, wird als Coxeter-System bezeichnet.

Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger ${\displaystyle r_{i}}${\displaystyle r_{i}}, Kanten zwischen den ${\displaystyle r_{i}}${\displaystyle r_{i}} und ${\displaystyle r_{j}}${\displaystyle r_{j}} verbindenden Knoten genau für ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}${\displaystyle m_{ij}\geq 3} und einer Markierung der Kante durch ${\displaystyle m_{ij}}${\displaystyle m_{ij}} für ${\displaystyle m_{ij}\geq 4}${\displaystyle m_{ij}\geq 4}. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei ${\displaystyle A_{n},B_{n}=C_{n}}${\displaystyle A_{n},B_{n}=C_{n}} und ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} jeweils für jedes ${\displaystyle n\geq 1}${\displaystyle n\geq 1} einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

• Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
• Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.

• Endliche Gruppe