Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnittsform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum über ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen beschrieben. Diese Schnittpunkte werden auch Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen bei einer Ebene allgemein auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Die Achsenabschnittsform ist eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Sie ist nicht definiert, wenn die Gerade oder Ebene den Koordinatenursprung enthält.

In der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der Ebene durch zwei reelle Zahlen ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} und ${\displaystyle y_{0}}${\displaystyle y_{0}} folgendermaßen über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} die Gleichung

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1}${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1}

erfüllen. Hierbei sind ${\displaystyle (x_{0},0)}${\displaystyle (x_{0},0)} und ${\displaystyle (0,y_{0})}${\displaystyle (0,y_{0})} die Schnittpunkte der Gerade mit den beiden Koordinatenachsen, die auch als Spurpunkte bezeichnet werden. Wird die Gleichung nach ${\displaystyle y}${\displaystyle y} aufgelöst, ergibt sich

${\displaystyle y=-{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\cdot x+y_{0}}${\displaystyle y=-{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\cdot x+y_{0}},

wobei das Verhältnis ${\displaystyle -y_{0}/x_{0}}${\displaystyle -y_{0}/x_{0}} der Steigung der Geraden entspricht.

Verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen, dann fällt der jeweilige Spurpunkt und damit auch der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg. Für eine Parallele zur ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-Achse lautet die Achsenabschnittsform also ${\displaystyle {\tfrac {y}{y_{0}}}=1}${\displaystyle {\tfrac {y}{y_{0}}}=1} und für eine Parallele zur ${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Achse ${\displaystyle {\tfrac {x}{x_{0}}}=1}${\displaystyle {\tfrac {x}{x_{0}}}=1}. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft.

Ein Beispiel für eine Geradengleichung in Achsenabschnittsform ist

${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{3}}=1}${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{3}}=1}

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)}, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (2,2)}${\displaystyle (2,2)} oder ${\displaystyle (4,1)}${\displaystyle (4,1)}, entspricht genau einem Geradenpunkt. Die beiden Spurpunkte der Geraden sind ${\displaystyle (6,0)}${\displaystyle (6,0)} und ${\displaystyle (0,3)}${\displaystyle (0,3)} und ihre Steigung ist ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}.

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern ${\displaystyle a,b}${\displaystyle a,b} und ${\displaystyle c}${\displaystyle c} lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division durch ${\displaystyle c}${\displaystyle c} direkt angeben:

${\displaystyle ax+by=c}${\displaystyle ax+by=c}

${\displaystyle {\frac {ax}{c}}+{\frac {by}{c}}=1}${\displaystyle {\frac {ax}{c}}+{\frac {by}{c}}=1}

${\displaystyle {\frac {x}{\;{\frac {c}{a}}\;}}+{\frac {y}{\;{\frac {c}{b}}\;}}=1}${\displaystyle {\frac {x}{\;{\frac {c}{a}}\;}}+{\frac {y}{\;{\frac {c}{b}}\;}}=1}

${\displaystyle x_{0}={\frac {c}{a}},~y_{0}={\frac {c}{b}}}${\displaystyle x_{0}={\frac {c}{a}},~y_{0}={\frac {c}{b}}}.

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Normalenform, der Hesseschen Normalform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Koordinatenform) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Achsenabschnittsform durch drei reelle Zahlen ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}}, ${\displaystyle y_{0}}${\displaystyle y_{0}} und ${\displaystyle z_{0}}${\displaystyle z_{0}} beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}${\displaystyle (x,y,z)} die Gleichung

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1}${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1}

erfüllen. Hierbei sind ${\displaystyle (x_{0},0,0)}${\displaystyle (x_{0},0,0)}, ${\displaystyle (0,y_{0},0)}${\displaystyle (0,y_{0},0)} und ${\displaystyle (0,0,z_{0})}${\displaystyle (0,0,z_{0})} die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese Achsenabschnitte werden wiederum Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen im Allgemeinfall auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Liegt die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, dann fallen die jeweiligen Spurpunkte und damit auch die entsprechenden Terme in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Ebene den Koordinatenursprung enthält.

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Achsenabschnittsform ist

${\displaystyle {\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}-z=1}${\displaystyle {\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}-z=1}

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y,z)}${\displaystyle (x,y,z)}, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (4,0,1)}${\displaystyle (4,0,1)} oder ${\displaystyle (4,3,2)}${\displaystyle (4,3,2)}, entspricht genau einem Ebenenpunkt. Die drei Spurpunkte der Ebene sind ${\displaystyle (2,0,0)}${\displaystyle (2,0,0)}, ${\displaystyle (0,3,0)}${\displaystyle (0,3,0)} und ${\displaystyle (0,0,-1)}${\displaystyle (0,0,-1)}.

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern ${\displaystyle a,b,c}${\displaystyle a,b,c} und ${\displaystyle d}${\displaystyle d} lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division direkt angeben:

${\displaystyle x_{0}={\frac {d}{a}},~y_{0}={\frac {d}{b}},~z_{0}={\frac {d}{c}}}${\displaystyle x_{0}={\frac {d}{a}},~y_{0}={\frac {d}{b}},~z_{0}={\frac {d}{c}}}.

Hat eine Ebene keinen Achsenabschnitt, da sie parallel zu einer Achse liegt, führt diese Rechnung zu einer Division durch Null.

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der Normalenform, der Hesseschen Normalform, der Parameterform und der Dreipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Ebene ermittelt (siehe Berechnung der Koordinatenform) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

Die Achsenabschnittsform wird beispielsweise in der Kristallographie bei den Millerschen Indizes zur Bezeichnung von Kristallflächen verwendet.

• Normalformen von Quadriken

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5. 

• Analytische Geometrie