Ende (Topologie)

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In der Mathematik sind die Enden eines topologischen Raumes anschaulich gesprochen die Zusammenhangskomponenten des „Randes im Unendlichen". Formal definiert werden sie als Äquivalenzklassen von Komplementen kompakter Mengen.

Sei X {\displaystyle X} {\displaystyle X} ein (lokal zusammenhängender, zusammenhängender, lokal kompakter, Hausdorffscher) topologischer Raum.

Wir betrachten die Familie U {\displaystyle {\mathcal {U}}} {\displaystyle {\mathcal {U}}} aller absteigenden Folgen

( U 1 U 2 U 3 ) {\displaystyle (U_{1}\supset U_{2}\supset U_{3}\supset \ldots )} {\displaystyle (U_{1}\supset U_{2}\supset U_{3}\supset \ldots )}

zusammenhängender, offener Mengen mit kompaktem Rand, für die

i = 1 U i ¯ = {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {U_{i}}}=\emptyset } {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {U_{i}}}=\emptyset }

gilt.

Auf U {\displaystyle {\mathcal {U}}} {\displaystyle {\mathcal {U}}} definieren wir eine Äquivalenzrelation {\displaystyle \sim } {\displaystyle \sim } durch

( U 1 U 2 U 3 ) ( V 1 V 2 V 3 ) n k : V k U n , U k V n {\displaystyle (U_{1}\supset U_{2}\supset U_{3}\supset \ldots )\sim (V_{1}\supset V_{2}\supset V_{3}\supset \ldots )\Longleftrightarrow \forall n\exists k\colon V_{k}\subset U_{n},U_{k}\subset V_{n}} {\displaystyle (U_{1}\supset U_{2}\supset U_{3}\supset \ldots )\sim (V_{1}\supset V_{2}\supset V_{3}\supset \ldots )\Longleftrightarrow \forall n\exists k\colon V_{k}\subset U_{n},U_{k}\subset V_{n}}.

Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation {\displaystyle \sim } {\displaystyle \sim } auf U {\displaystyle {\mathcal {U}}} {\displaystyle {\mathcal {U}}} heißen Enden des topologischen Raumes X {\displaystyle X} {\displaystyle X}.

Als Umgebungen eines Endes werden die offenen Mengen in der jeweiligen Äquivalenzklasse bezeichnet.

Charakterisierung über Komplemente von Kompakta

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(Specker, Raymond): Ein Raum hat mindestens k {\displaystyle k} {\displaystyle k} Enden, wenn es eine offene Menge mit kompaktem Abschluss gibt, deren Komplement k {\displaystyle k} {\displaystyle k} nicht relativ kompakte Zusammenhangskomponenten hat.

Fundamentalgruppe eines Endes

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Die Fundamentalgruppe eines Endes E {\displaystyle E} {\displaystyle E} wird definiert als der projektive Limes der Fundamentalgruppen der Umgebungen U i {\displaystyle U_{i}} {\displaystyle U_{i}} des Endes E {\displaystyle E} {\displaystyle E}:

π 1 ( E ) = lim i I π 1 ( U i ) {\displaystyle \pi _{1}(E)=\varprojlim _{i\in I}\pi _{1}(U_{i})} {\displaystyle \pi _{1}(E)=\varprojlim _{i\in I}\pi _{1}(U_{i})}.
  • Die Zahlengerade R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} hat zwei Enden.
  • Für n 2 {\displaystyle n\geq 2} {\displaystyle n\geq 2} hat der R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ein Ende.
  • Sei M {\displaystyle M} {\displaystyle M} das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit M ¯ {\displaystyle {\overline {M}}} {\displaystyle {\overline {M}}} mit Rand M ¯ {\displaystyle \partial {\overline {M}}} {\displaystyle \partial {\overline {M}}}, also M = M ¯ M ¯ {\displaystyle M={\overline {M}}-\partial {\overline {M}}} {\displaystyle M={\overline {M}}-\partial {\overline {M}}}. Dann entsprechen die Enden von M {\displaystyle M} {\displaystyle M} den Zusammenhangskomponenten von M ¯ {\displaystyle \partial {\overline {M}}} {\displaystyle \partial {\overline {M}}}.
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b
  • Sei X {\displaystyle X} {\displaystyle X} der Cayley-Graph einer nichtabelschen freien Gruppe. Dann hat X {\displaystyle X} {\displaystyle X} unendlich viele Enden, es gibt eine Bijektion der Menge der Enden auf eine Cantormenge.
  • Nach einem Satz von Freudenthal hat der Cayley-Graph einer Gruppe entweder unendlich viele oder höchstens 2 Enden.
  • Hughes, Bruce; Ranicki, Andrew: Ends of complexes. Cambridge Tracts in Mathematics, 123. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57625-3
  • Freudenthal, Hans: Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comment. Math. Helv. 17, (1945). 1–38. online (PDF; 3,0 MB)
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