Эрмита многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Эрмита многочлены H n (x) могут быть определены формулой:
.
В частности, H o = 1, H 1 = 2х. H 2 = 4x2 — 2, H 3 = 8x3 — 12x, H 4 = 16х4 — 48х2 + 12. Эрмита многочлены ортогональны на всей оси Ox относительно веса е-х (ортогональные многочлены ). Дифференциальное уравнение для у = H n (x).
y"" — 2ху" + 2ny = 0;
рекуррентные формулы:
H n+1 (х) — 2xHn (x) + 2nHn-1 (х) = 0,
.
Иногда за H n принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут . Основные свойства этой системы были изучены П. Л. Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом (1864).