Эллиптические интегралы, интегралы вида
,
где R (x, у) - рациональная функция х и , а Р (х) - многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней.
Под Эллиптические интегралы первого рода понимают интеграл
(1)
под Эллиптические интегралы второго рода - интеграл
где k - модуль Эллиптические интегралы, 0 < k < 1 (х = sin j, t = sin a. Интегралы в левых частях равенств (1) и (2) называются Эллиптические интегралы в нормальной форме Якоби, интегралы в правых частях - Эллиптические интегралы в нормальной форме Лежандра. При х = 1 или j = p/2 Э. и называются полными и обозначаются, соответственно, через
и
Своё назв. Эллиптические интегралы получили в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и = a sin a, v = b cos a(a < b). Длина дуги эллипса выражается формулой
где - эксцентриситет эллипса. Длина дуги четверти эллипса равна E (k). Функции, обратные Эллиптические интегралы, называются эллиптическими функциями .