Шрёдингера уравнение, основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики ; названо в честь австрийского физика Э. Шрёдингера , который предложил его в 1926. В квантовой механике Шрёдингера уравнение играет такую же фундаментальную роль, как уравнение движения Ньютона в классической механике и Максвелла уравнения в классической теории электромагнетизма. Шрёдингера уравнение описывает измерение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией . Если известна волновая функция y в начальный момент времени, то, решая Шрёдингера уравнение, можно найти y в любой последующий момент времени t.
Для частицы массы т, движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом V (х, у, z, t), Шрёдингера уравнение имеет вид:
, (1)
где i = , = 1,05.10¾27 эрг. сек — Планка постоянная , — Лапласа оператор (х, у, z — координаты). Это уравнение называется временным Шрёдингера уравнение
Если потенциал V не зависит от времени, то решения Шрёдингера уравнение можно представить в виде:
y(х, у, z, t) = y (х, у, z), (2)
где Е — полная энергия квантовой системы, а y (x, у, z) удовлетворяет стационарному Шрёдингера уравнение:
(3)
Для квантовых систем, движение которых происходит в ограниченной области пространства, решения Шрёдингера уравнение существуют только для некоторых дискретных значений энергии: E1, E2,..., En,...; члены этого ряда (в общем случае бесконечного) нумеруются набором целых квантовых чисел n. Каждому значению Еп соответствует волновая функция yn (x, у, z), и знание полного набора этих функций позволяет вычислить все измеримые характеристики квантовой системы.
В важном частном случае кулоновского потенциала
(где е — элементарный электрический заряд) Шрёдингера уравнение описывает атом водорода, и En представляют собой энергии стационарных состояний атома.
Шрёдингера уравнение является математическим выражением фундаментального свойства микрочастиц — корпускулярно-волнового дуализма , согласно которому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами (эта гипотеза впервые была высказана Л. де Бройлем в 1924). Шрёдингера уравнение удовлетворяет соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, содержит описание движения частиц по законам классической механики. Переход от Шрёдингера уравнение к классическим траекториям подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классической механикой и геометрической оптикой, которая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Шрёдингера уравнение
С математической точки зрения Шрёдингера уравнение есть волновое уравнение и по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, которые дают геометрическую форму струны в данный момент времени, решения y(х, у, z, t) Шрёдингера уравнение прямого физического смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величина rn (x, у, z, t) = |yn (x, у, z, t)|2, равная вероятности нахождения частицы (системы) в момент t в квантовом состоянии n в точке пространства с координатами х, у, z. Эта вероятностная интерпретация волновой функции — один из основных постулатов квантовой механики.
Математическая формулировка постулатов квантовой механики, основанная на Шрёдингера уравнение, носит название волновой механики. Она полностью эквивалентна т. н. матричной механике В. Гейзенберга , которая была сформулирована им в 1925.
Шрёдингера уравнение позволяет объяснить и предсказать большое число явлений атомной физики, а также вычислить основные характеристики атомных систем, наблюдаемые на опыте, например уровни энергии атомов, изменение спектров атомов под влиянием электрического и магнитного полей и т.д. С помощью Шрёдингера уравнение удалось также понять и количественно описать широкий круг явлений ядерной физики, например закономерности a-распада, g-излучение ядер, рассеяние нейтронов на ядрах и др.
Лит.: Шрёдингер Э., Новые пути в физике. Статьи и речи, М., 1971. См. также лит. к ст. Квантовая механика .
Л. И. Пономарёв.