Характеристическое уравнение в математике,
1) Характеристическое уравнение матрицы - алгебраическое уравнение вида
;
определитель, стоящий в левой части Характеристическое уравнение, получается из определителя матрицы А = ||aik||n1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х - характеристический многочлен. В раскрытом виде Характеристическое уравнение записывается так:
,
где S 1 = a11 + a22 +... ann - т. н. след матрицы, S 2 - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида (i < k) и т.д., а S n - определитель матрицы А. Корни Характеристическое уравнение l1, l2,..., ln называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все lkдействительны, у действительной кососимметричной матрицы все lk чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |lk| = 1.
Характеристическое уравнение встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Характеристическое уравнение; отсюда и второе название для Характеристическое уравнение - вековое уравнение.
2) Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
a0ly (n) + a1y (n-1) +... + an-1y" + any = 0
- алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение
a0ln + a1ln-1 +... + an-1 y" + any = 0.
К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = сеlх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений
, ,
Характеристическое уравнение записывается при помощи определителя
Характеристическое уравнение матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.