Характеристика в математике, 1) целая часть десятичного логарифма .
2) Понятие теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Характеристика (в математике) дифференциального уравнения 1-го порядка
, (1)
где Р = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) — заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
. (2)
Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик j(x, y, z) = C 1, y(x, y, z) = C 2 (C 1, C 2 — произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {P , Q, R}. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Характеристика (в математике), пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F [j(x, y, z), y(x, y, z)] = 0, где F — некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача ), достаточно построить геометрическое место Характеристика (в математике), пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Характеристика (в математике) Понятие Характеристика (в математике) обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.
Характеристика (в математике) дифференциального уравнения 2-го порядка
(3)
были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение
. (4)
Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Характеристика (в математике) с уравнениями x(x, y) = C 1 и h(х, у) = C 2 (C 1, C 2 — произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду
.
Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду
.
Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Характеристика (в математике); если записать решение уравнения (4) в виде x ± ih = C , то уравнение (3) преобразуется к виду
.
Значения решения и вдоль Характеристика (в математике) и значения и в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Характеристика (в математике) решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u, и , заданные на линии, не являющейся Характеристика (в математике), определяют значения решения вблизи этой линии; для Характеристика (в математике) же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Характеристика (в математике)
Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u, и (квазилинейный случай), то Характеристика (в математике), определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Характеристика (в математике) и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.
Лит. см. при ст. Уравнения математической физики .