Фурье интеграл, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд ) и если сходится
,
то
. (1)
Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде
, (2)
где
;
.
В частности для чётных функций
,
где
.
Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T, когда Т ® ¥. При этом а (u) и b (u) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой
.
Формулу (1) можно преобразовать также к виду
(3)
(простой интеграл Фурье).
Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы ), то во многих случаях их можно просуммировать к f (x) при помощи того или иного метода суммирования . При решении многих задач используются формулы Фурье интеграл для функций двух и большего числа переменных.
Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.