Фредгольма уравнение, интегральные уравнения вида:
, (1)
a £ x, s £ b, (Фредгольма уравнение 1-го рода) и
, (2)
a £ x, s £ b,
(Фредгольма уравнение 2-го рода), где К (х, s) — заданная непрерывная функция от x и s, называемая ядром уравнения, f (x) — заданная функция, j(х) — искомая функция, l — параметр (см. Интегральные уравнения ). Уравнения (1) и (2) были изучены в 1900—1903 Э. Фредгольмом . Теория Фредгольма уравнение 2-го рода проще и они чаще используются в приложениях. Построение устойчивых решений Фредгольма уравнение 1-го рода в общем случае возможно лишь с помощью специальных регуляризирующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач. Если l не является собственным значением уравнения (2), то это уравнение имеет единственное непрерывное решение, определяемое формулой:
, (3)
где R (x, s; l) = D (x, s, l)/D (l) называется резольвентой уравнения (2). Здесь
,
d0(x, s) = K (x, s),
,
,
, .
Лит.: см. при ст. Интегральные уравнения .