Бесконечно малая в математике, переменная величина, стремящаяся к пределу , равному нулю. Для того чтобы понятие Бесконечно малая имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Бесконечно малая Например, величина y = 1/x является Бесконечно малая при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой . Если предел переменной у конечен и равен а, то lim (y - a) = 0 и обратно. Поэтому понятие Бесконечно малая величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Бесконечно малая является одним из способов построения теории пределов.
При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у и z называются эквивалентными, если limz/y = 1; если при этом у является Бесконечно малая, то у и z называются эквивалентными Бесконечно малая Переменная z называется Бесконечно малая относительно у, если z/y есть Бесконечно малая Последний факт часто записывается в виде z = о (у) (читается: «z есть о малое от у»). Если при этом у является Бесконечно малая, то говорят, что z есть Бесконечно малая более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Бесконечно малая, участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Бесконечно малая порядка k > 0,если предел lim z/ук существует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z называется Бесконечно малая порядка выше k. Изучение порядков различного рода Бесконечно малая — одна из важных задач математического анализа.
Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Бесконечно малая: функция f (x), определённая в окрестности точки x0, называется Бесконечно малая при х, стремящемся к x0, если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию |x - x0| < d, выполняется неравенство |f (x)| < e. Этот факт записывается в виде
При изучении функции f (x)вблизи точки xoза главную Бесконечно малая принимают приращение независимого переменного Dх = х - х0. Формула
Dy = f’(x0) Dx +о (Dх)
выражает, например, что приращение Dy дифференцируемой функции с точностью до Бесконечно малая порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = f " (x0) Dx.
Метод Бесконечно малая, или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Бесконечно малая Он заменил исчерпывания метод древних и «неделимых» метод . Метод Бесконечно малая был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши . При помощи Бесконечно малая даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Бесконечно малая служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Бесконечно малая приращения изучаемых величин, и обращение к Бесконечно малая является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.
Лит. см. при ст. Анализ математический .
С. Б. Стечкин.