Бернулли числа, специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Бернулли числа:
B 1 = 1/6, B 2 = 1/30, B 3 = 1/42, B 4 = 1/30,
B 5 = 5/66, B 6 = 691/2730.
В математическом анализе Бернулли числа появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например:
К числу важнейших формул, в которых встречаются Бернулли числа, относится формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. Конечных разностей исчисление ). Через Бернулли числа выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Бернулли числа впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что
Для Бернулли числа известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид).
Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Бернулли числа Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма xp + ур = zp не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Бернулли числа B 1, B 2,...B (p - 3)/2. Нередко для обозначения Бернулли числа вместо B m пишут (-1) m - 1B 2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают
B 0 = 1, B 1 = - 1/2,
B 3 = B 5 = B 7 =... = 0.
Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.—Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.
С. Б. Стечкин.