Сопряжённые функции, функции u (х, у), u(x, у) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши — Римана (см. Коши—Римана уравнения );
; .
При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, Сопряжённые функции u и u являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (x + iy). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа
,
т. е. являются гармоническими функциями . Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., u (х, у)] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармоническая функция u(x, у), а тем самым и аналитическая функция f (x + iy). Например, если
[j = arg (х + iy)]
— гармоническая функция в некотором круге , то Сопряжённые функции
и
Значения Сопряжённые функции на круге r = 1 являются периодическими функциями аргумента j. Они раскладываются в тригонометрические ряды вида
называемые сопряжёнными тригонометрическими рядами.