Автоморфная функция (от авто ... и греческого morphē - вид) (матем.), аналитическая функция , значения которой не изменяются, если её аргумент подвергается некоторым дробно линейным преобразованиям. К Автоморфная функция относятся периодические функции и, в частности, эллиптические функции .
Так, например, если указанные преобразования - целые и имеют вид: z’ = z + w,где w - комплексное число, отличное от нуля, то получаются Автоморфная функция, характеризуемые уравнением f (z + w) = f (z), т. е. периодические функции с периодом w. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор w. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных преобразований z’ = z + nw (n = 0, ±1, ±2,...), не изменяющих f (z). В общем случае пусть Г - некоторая группа дробно линейных преобразований;
и G - область, которая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является Автоморфная функция (по отношению к данной группе Г), если f [Tk (z)] = f (z), (k = 1, 2...). Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия ), а преобразования группы Г - как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие Автоморфная функция можно рассматривать как такое обобщение периодических функций, при котором сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре , обеспечила успех в построении общей теории Автоморфная функция (до А. Пуанкаре существенные результаты теории Автоморфная функция получены Ф. Клейном ). Вообще, вся теория Автоморфная функция, в её современном состоянии, представляет замечательный пример плодотворности геометрических идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математического анализа и теории функций.
К общим Автоморфная функция, помимо вопросов конформного отображения , приводит также теория линейных дифференциальных уравнений , изучение алгебр, кривых порядка выше четвёртого (см. Алгебраическая геометрия ), решение алгебраических уравнений (например, решение общего уравнения пятой степени с одним неизвестным получается посредством Автоморфная функция) и т. д.
Лит.: Форд Л. P., Автоморфные функции, пер. с англ., М.- Л., 1936; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937, гл. 8; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950; его же, Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961.