Непараметрические методы в математической статистике, методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблюдений. Название Непараметрические методы подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений ), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка Непараметрические методы является в значительной степени заслугой советских учёных.
В качестве примера Непараметрические методы можно привести найденный А. Н. Колмогоровым способ проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмогорова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения F (x) и пусть F n (x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см. Вариационный ряд ), построенную по этим n наблюдениям, a Dn - наибольшее по абсолютной величине значение разности F n (x) - F (x). Случайная величина
имеет в случае непрерывности F (x) функцию распределения K n (l), не зависящую от F (x) и стремящуюся при безграничном возрастании n к пределу
Отсюда при достаточно больших n, для вероятности pn,l. Неравенства
получается приближённое выражение
pn,l » 1 - К (l). (*)
Функция К (l) табулирована. Её значения для некоторых А приведены в табл.
Таблица функции К (l)
как это было установлено Н. В. Смирновым , имеет пределом К (l), здесь Dn1, n2 есть наибольшее по абсолютной величине значение разности F n1 (х) - F n2 (х).
Другим примером Непараметрические методы могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов - так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a и s, то
где Ф-1 - функция, обратная нормальной:
Т. о., график функции у = Ф-1[F (x)]будет в этом случае прямой линией, а график функции у = Ф-1[F n (x)] - ломаной линией, близкой к этой прямой (см. рис.). Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F (x).
Лит.: Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1968.
Ю. В. Прохоров.