Метрическое пространство, множество объектов (точек), на котором введена метрика . Всякое Метрическое пространство является топологическим пространством ; за окрестности в нём принимаются всевозможные открытые шары [при этом открытым шаром радиуса R с центром в точке x0 называется совокупность всех точек х, для которых расстояние r(х, x0) < R]. Топология одного и того же множества может быть различной в зависимости от метрики, введённой на нём. Например, на множестве вещественных функций, определённых и непрерывных на отрезке [a, b] числовой оси, можно ввести две метрики:
Соответствующие Метрическое пространство обладают разными топологическими свойствами. Метрическое пространство с метрикой (1) является полным [для любой последовательности его точек {xn} такой, что r1(xn, xm) ® 0 При n, m ® ,円 найдётся элемент x0 Метрическое пространство, являющийся пределом этой последовательности]; Метрическое пространство с метрикой (2) этим свойством не обладает. В Метрическое пространство можно вводить фундаментальные понятия анализа: непрерывность отображения одного Метрическое пространство в другое, сходимость, компактность и т.д. Понятие «Метрическое пространство» было введено М. Фреше в 1906.
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л. 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.
В. И. Соболев.