Лежандра преобразование, частный случай прикосновения преобразований ; имеет вид:
Х = у"(х), Y (X) = xy"(x) — y(x), Y"(X) = x. Из этих формул вытекает, что и обратно x = Y"(X), y(x) = XY"(X)-Y (X), у"(х)=Х. Таким образом, Лежандра преобразование двойственно самому себе. Лежандра преобразование переводит дифференциальное уравнение первого порядка
F (x, y, y") = 0 (1)
в уравнение
F (Y", XY"-Y, x) = 0, (2)
которое иногда интегрируется проще исходного. Зная решение уравнения (2), можно получить решение уравнения (1). Лежандра преобразование употребляется также при рассмотрении дифференциальных уравнений гидродинамики. Лежандра преобразование получило своё название по имени А. Лежандра , впервые изучившего его (1789).