Лежандра многочлены, сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Лежандра многочлены Р (х) могут быть определены формулой:
,
в частности:
, , ,
,
,
и т.д. Все нули многочлена P n (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена P n+i (x). Лежандра многочлены — ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Лежандра многочлены произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:
,
где .
Характер сходимости рядов по Лежандра многочлены примерно тот же, что и рядов Фурье.
Явное выражение для Лежандра многочлены:
.
Производящая функция:
(Лежандра многочлены — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:
nPn (x) + (n - 1) P n-2(x) - (2n - 1) xPn-1(x) = 0.
Дифференциальное уравнение для Лежандра многочлены
возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции .
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.
В. Н. Битюцков.