Измеримые функции (в первоначальном понимании), функции f (x), обладающие тем свойством, что для любого t множество Et точек х, для которых f (x) £ t, измеримо по Лебегу (см. Мера множества ). Это определение Измеримые функции принадлежит французскому математику А. Лебегу. Сумма, разность, произведение и частное двух Измеримые функции, а также предел последовательности Измеримые функции снова являются Измеримые функции Таким образом, основные операции алгебры и анализа не выводят за пределы совокупности Измеримые функции Русские и советские математики внесли большой вклад в изучение Измеримые функции (Д. Ф. Егоров, Н. Н. Лузин и их ученики). Лузин доказал, что функция измерима в том и только том случае, если она может быть сделана непрерывной после изменения её значений на множестве сколь угодно малой меры. Это так называемое С-свойство Измеримые функции
В абстрактной теории меры функция f (x) называется Измеримые функции по отношению к какой-либо мере m, если множество Et входит в область определения меры m. В современной теории вероятностей Измеримые функции выступают под названием случайных величин (см. Вероятностей теория ).