Гипергеометрические функции, аналитические функции, определяемые для |z|<1c помощью гипергеометрического ряда . Название «Гипергеометрические функции» было дано Дж. Валлисом (1650). Гипергеометрические функции являются интегралами гипергеометрического уравнения
z (1—z)w» + [g—(1 + a+ bz]w"—abw = 0.
Это уравнение имеет три регулярные особые точки 0, 1 и ¥ и является канонической формой уравнений гипергеометрического типа. Важнейшие специальные функции математического анализа являются интегралами уравнений гипергеометрического типа (например, шаровые функции ) или уравнений, возникающих из гипергеометрических путём слияния их особых точек (например, цилиндрические функции ). Теория уравнений гипергеометрического типа явилась основой для возникновения важной математической дисциплины — аналитической теории дифференциальных уравнений. Между различными Гипергеометрические функции
w = F (a, b; g; z)
имеется большое число соотношений, например:
F (a, 1; g, z) = (1—z)–1 F (1, g —a; g; z/(z—1)).
Лит.: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.