অয়লারের ধ্রুবক
- Afrikaans
- አማርኛ
- Aragonés
- العربية
- Asturianu
- Azərbaycanca
- Башҡортса
- Беларуская
- Български
- Brezhoneg
- Bosanski
- Català
- کوردی
- Čeština
- Чӑвашла
- Dansk
- Deutsch
- Ελληνικά
- English
- Esperanto
- Español
- Eesti
- Euskara
- فارسی
- Suomi
- Français
- Nordfriisk
- 贛語
- Kriyòl gwiyannen
- Galego
- עברית
- हिन्दी
- Hrvatski
- Magyar
- Հայերեն
- Interlingua
- Bahasa Indonesia
- Ido
- Íslenska
- Italiano
- 日本語
- Patois
- ქართული
- Қазақша
- ಕನ್ನಡ
- 한국어
- Latina
- Lingua Franca Nova
- Lombard
- Lietuvių
- Latviešu
- Македонски
- മലയാളം
- Монгол
- मराठी
- Bahasa Melayu
- नेपाली
- Nederlands
- Norsk nynorsk
- Norsk bokmål
- Occitan
- Polski
- Português
- Română
- Русский
- Sicilianu
- Scots
- Srpskohrvatski / српскохрватски
- Taclḥit
- සිංහල
- Simple English
- Slovenčina
- Slovenščina
- Shqip
- Српски / srpski
- Svenska
- தமிழ்
- Тоҷикӣ
- ไทย
- Türkçe
- Татарча / tatarça
- Українська
- اردو
- Tiếng Việt
- 吴语
- 中文
- 文言
- 粵語
গাণিতিক ধ্রুবক e |
---|
নিবন্ধের ধারাবাহিকের অংশ |
Properties |
Applications |
Defining e |
ব্যক্তি |
Related topics |
e একটি গাণিতিক ধ্রুবক, যা অয়লারের সংখ্যা নামে পরিচিত। যার সাংখ্যিক মান হল 2.71828182845...[১] । উক্ত সংখ্যাটি বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন। এটি প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। এটি (1 + 1/n)n এর সীমা, যখন n এর মান অসীমের সন্নিকটবর্তী। এটি চক্রবৃদ্ধি মুনাফা অধ্যয়নে এটি ব্যবহৃত হয়। এটির কিছু কিছু অসীম ধারার যোগফল নির্ণয়েও কাজে লাগে।
{\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }
ইতিহাস
[সম্পাদনা ]স্কটিশ গণিতজ্ঞ জন নেপিয়ার ১৬১৮ খ্রিস্টাব্দে উক্ত ধ্রুবকটি সম্পর্কে উল্লেখ করেন। তবে ধ্রুবকটি আবিষ্কার ও সংজ্ঞায়িত করার কৃতিত্ব দেওয়া হয় জ্যাকোব বার্নোলিকে। যিনি নিম্নোক্ত রাশিটির মান বের করার চেষ্টা করছিলেন।
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
সংজ্ঞা
[সম্পাদনা ]- {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।
মান নির্ণয়
[সম্পাদনা ]{\displaystyle 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}
উক্ত অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।[২]
প্রমাণটাও সহজ, প্যাসক্যালের দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী,
- {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)x^{2}}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)x^{3}}{3!}}+\ldots }
সুতরাং, যখন {\displaystyle x={\frac {1}{n}}}, তখন,
- {\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})}{2!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})(1-{\frac {2}{n}})}{3!}}+\ldots }
যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, {\displaystyle {\frac {1}{n}}} এর মান তত শুন্যের দিকে কমতে থাকে)।
সূচক ফাংশন
[সম্পাদনা ]{\displaystyle e^{x}} রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে {\displaystyle \exp(x)}ও লেখা হয়।
ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),
- {\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }
অয়লারের অভেদ
[সম্পাদনা ]{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;} সমীকরণটি e কে 1, {\displaystyle \pi } এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার [৩] দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা({\displaystyle \pi } পাই এর মত)
তথ্যসূত্র
[সম্পাদনা ]- ↑ বাংলা একাডেমী বিজ্ঞান বিশ্বকোষ ২য় খন্ড। বাংলা একাডেমী। পৃষ্ঠা ১। আইএসবিএন 984-07-5373-8।
- ↑ Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
- ↑ Sondow, Jonathan। "e"। Wolfram Mathworld । Wolfram Research । সংগ্রহের তারিখ ১০ মে ২০১১।