সম-বিন্যাস (অবিচ্ছিন্ন)

অবিচ্ছিন্ন সম-বিন্যাস (continuous uniform distribution) সম্ভাবনার এমন একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস, যার যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধির (interval) সম্ভাবনা সমান। সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলক যদি কেবল a হতে b এর মাঝে মান নেয়, যেখানে a < b, তবে সম-বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) হবে:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a<x<b,\\\0円&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b,\\\\\mathrm {see} \ \mathrm {below} &\ \ \ {\mbox{for }}x=a{\mbox{ or }}x=b.\end{matrix}}\right.}${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a<x<b,\\\0円&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b,\\\\\mathrm {see} \ \mathrm {below} &\ \ \ {\mbox{for }}x=a{\mbox{ or }}x=b.\end{matrix}}\right.}

ঘনত্ব অপেক্ষকের মান a ও b তে একেকক্ষেত্রে একেক রকম ধরা হয়, কখনো শূন্য, কখনো 1/(b − a), কোনো কোনো ক্ষেত্রে 1/(2(b − a))। এই দুই প্রান্তিক মানের কারণে f(x) dx বা x f(x) dx এর সমাকলন মানে কোনো পরিবর্তন হয় না বিধায় f(a) ও f(b) সাধারণত অগুরুত্বপূর্ণ।

সম-বিন্যাসের ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন হল:

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\1円&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.}${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\1円&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.}

সম-বিন্যাসের 'সমতা'-র নিহিতার্থ হল - সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলকের যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান। যদি ${\displaystyle X\sim \;{\mbox{U}}(a,b)}${\displaystyle X\sim \;{\mbox{U}}(a,b)} হয় এবং ${\displaystyle d,円\!}${\displaystyle d,円\!} যদি ${\displaystyle \left[a,b\right]}${\displaystyle \left[a,b\right]} এর একটি ধ্রুব অনুব্যবধি (subinterval) হয়, যেখানে ${\displaystyle d\geq 0}${\displaystyle d\geq 0}, তাহলে ${\displaystyle X,円\!}${\displaystyle X,円\!}-এর যেকোনো ${\displaystyle d,円\!}${\displaystyle d,円\!} দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা -

${\displaystyle {\begin{matrix}P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)&=&\int _{x}^{x+d}1/(b-a),円dy\\&=&((x+d)-x)/(b-a)\\&=&d/(b-a)\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)&=&\int _{x}^{x+d}1/(b-a),円dy\\&=&((x+d)-x)/(b-a)\\&=&d/(b-a)\end{matrix}}}

হবে, যা ধ্রুব। অতএব - যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান।

সম-বিন্যাসের a = 0 ও b = 1 হলে তাকে পরিমিত সম-বিন্যাস বলে। পরিমিত সম-বিন্যাসের একটি বৈশিষ্ট্য হল, যদি U₁ পরিমিত সম-বিন্যস্ত একটি দৈব চলক হয়, অর্থাৎ -

${\displaystyle U_{1}\sim \;\mathrm {UNIFORM} (0,1)}${\displaystyle U_{1}\sim \;\mathrm {UNIFORM} (0,1)}

তাহলে 1-U₁ ও সমভাবে বিন্যস্ত হবে, অর্থাৎ -

${\displaystyle 1-U_{1}\sim \;\mathrm {UNIFORM} (0,1)}${\displaystyle 1-U_{1}\sim \;\mathrm {UNIFORM} (0,1)}

• ${\displaystyle Y\sim \;\mathrm {Exponential} (\lambda )}${\displaystyle Y\sim \;\mathrm {Exponential} (\lambda )} একটি সূচকীয় বিন্যাস হবে যদি ${\displaystyle Y=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(X)}${\displaystyle Y=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(X)} হয় এবং ${\displaystyle X\sim \;\mathrm {Uniform} (0,1)}${\displaystyle X\sim \;\mathrm {Uniform} (0,1)} হয়।

• সম্ভাবনা বিন্যাস
• অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস