URL: https://linuxfr.org/users/jben/journaux/des-virus-des-hommes-et-de-la-dynamique Title: Des virus, des hommes, et de la dynamique. Authors: jben Date: 2020年03月04日T19:13:24+01:00 License: CC By-SA Tags: covid-19, jupyter, coronavirus et simulation Score: 34 # Introduction Ce journal se place dans la continuité de [l'excellent journal de Liorel][journalliorel] à l'origine, cela constituait ce que je comptais poster comme une réponse, mais cela s'est étoffé progressivement au point de faire un journal. _Disclamer:_ L'épidémio n'est pas mon domaine. Liorel expliquait ce qu'était un modèle à compartiment en épidémiologie dans le cadre du modèle simple, et utilisait ce modèle pour discuter du régime asymptotique (équilibre, propagation, etc.). Toutefois, ce modèle est aussi utilisable en prédiction de dynamique, c'est ce que je vais tenter de faire dans ce journal. [journalliorel]: /users/liorel/journaux/des-virus-et-des-hommes # Du modèle SIR au modèle SEIQR Comme expliqué précédemment, le modèle suppose l’existence de trois compartiments, _attention, je n'utilise pas les même notations pour les paramètres que Liorel dans mon écriture_: - $S$: Compartiment des Susceptibles. - $I$: Compartiment des infectés contagieux. - $R$: Compartiment des guéris et des morts (qui sont confondus dans ce modèle). Ce modèle simple a de très bonnes propriétés pour l'étude du régime permanent, mais deux phénomènes sont à prendre en compte pour la dynamique: - L'incubation, les infectés ne sont pas immédiatement contagieux. Ne pas le prendre en compte consisterait à prédire une dynamique beaucoup plus rapide. - La prise en charge, la contagion ne se produit que dans la première phase, en effet après, les infectés sont traités et confinés. Ne pas le prendre en compte consisterait à prédire une dynamique moins rapide. On obtient donc un modèle à 5 compartiments: - $S$: Compartiment des Susceptibles. - $E$: Compartiment des exposés (les personnes en incubation). - $I$: Compartiment des infectés contagieux qui contaminent. - $Q$: Compartiment des infectés en quarantaine. - $R$: Compartiment des guéris et des morts (qui sont confondus dans ce modèle). Les équations sont donc les suivantes: $$\left\{\begin{array}{rcl} \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta\frac{S(t)I(t)}{N}\\ \frac{dE(t)}{dt} &=& \beta\frac{S(t)I(t)}{N} - aE(t)\\ \frac{dI(t)}{dt} &=& aE(t)-\gamma I(t)\\ \frac{dQ(t)}{dt} &=& \gamma I(t) - \delta Q(t)\\ \frac{dR(t)}{dt} &=& \delta Q(t) \\ \end{array}\right. $$ L'idée est exactement la même que dans le modèle SIR de Liorel, et je vous conseille de lire l'explication dans son journal. Pour résumer: - Le passage de $S$ à $E$ est proportionnel au nombre de contact possibles entre les susceptibles et les infectés contagieux $S(t)I(t)$. - Le passage de $E$ à $I$ est proportionnel à $E,ドル cela correspond à un temps d'attente individuel suivant une loi exponentielle de moyenne $a^{-1}$. - Le passage de $I$ à $Q$ est proportionnel à $I,ドル cela correspond à un temps d'attente individuel suivant une loi exponentielle de moyenne $\beta^{-1}$. - Le passage de $Q$ à $R$ est proportionnel à $Q,ドル cela correspond à un temps d'attente individuel suivant une loi exponentielle de moyenne $\gamma^{-1}$. Les paramètres sont: - $\beta$: paramètre d'infection par unité de contact susceptible d'un infecté. Difficilement interprétable seul. - $a$: paramètre régissant l'incubation. - $\gamma$: paramètre régissant le temps pendant lequel un infecté est effectivement contagieux. - $\delta$: paramètre régissant la guérison ou mort. Cela a l'air abscons, mais on peut dire que: - $R_0={\beta}/{\gamma},ドル et ça c'est intéressant, car on connaît $R_0$ (enfin on est capable d'aller dans la littérature chercher des valeurs plausibles). - $a^{-1}$ est le temps moyen d'incubation. - $\gamma^{-1}$ est le temps moyen pendant lequel un individu infectieux contamine. - $\delta^{-1}$ est le temps moyen qu'un individu contagieux qui ne contamine plus (car isolé) reste en traitement avant mort ou guérison. # Simulation Pour cela, j'ai choisi les hypothèses suivantes: - temps moyen avant mort ou guérison d'un individu infecté: 12 jours. (Cela s'exprime comme $\gamma^{-1}+\delta^{-1}$. - temps moyen pendant lequel un infecté est effectivement contagieux avant isolement: 2 jours. (Cela s'exprime comme $\gamma^{-1}$. - temps moyen d'incubation: 5.4 jours (en utilisant les statistiques trouvées sur [worldometer](https://www.worldometers.info/coronavirus). - $R_0$ de 1.5 (hypothèse optimiste) ou 3.5 (hypothèse pessimiste). Pour initialiser le modèle, j'ai choisi d'utiliser les données du 3 mars: - $I(0)=212$ (oui de considérer que tous le monde est contagieux dès le départ, cela induit peut être le fait de voir le pic 1 ou 2 jours trop tôt). - $E(0)$ de telle manière à avoir $aE(0)$ qui correspond au flux (en utilisant les données de la veille). - $Q(0)=0,ドル puisque j'ai mis tous les infectés dans $I$. - $R(0)=12+4,ドル 12 guéris + 4 morts. - $S(0) = N-E(0)-I(0)-Q(0)-R(0)$. Il faut bien comprendre qu'une mauvaise initialisation conduit à décaler le pic dans un sens ou dans l'autre de quelques jours. Il ne faut pas s'acharner dessus, mais il faut qu'elle soit cohérente. Il faudra faire également attention à ne pas vraiment interpréter ce qu'on va avoir à une date donnée, mais plus comme moyen de comparer des scénarios. Ainsi j'obtiens les courbes suivantes: ![I+Q](http://perso.crans.org/leger/covid19/f1.svg) ![I+Q+R](http://perso.crans.org/leger/covid19/f2.svg) # Essayez par vous-même L'intérêt de ces modèles, ce n'est pas de voir des courbes et considérer que c'est la réalité, mais de comparer différents scénario pour essayer de comprendre la dynamique. Ainsi, tout est sur un notebook, c'est un peu à l'arrache, mais l'important c'est que cela fonctionne. - [dépot github][github] - [notebook en ligne, en 1 clic c'est utilisable][notebook] [github]: https://github.com/jb-leger/SIR_covid19 [notebook]: https://mybinder.org/v2/gh/jb-leger/SIR_covid19/master?filepath=comprendre_SIR.ipynb Tout est libre, faites en un truc plus léché et fini si vous le souhaitez (ou complètement autre chose c'est le principe du libre). # Attention Il y a plein d'hypothèses faites, celles que je trouve les plus importantes sont les suivantes: - propagation non spacialisée. La probabilité de contact ne dépend que des nombres de susceptibles et d'infectés. On sait que c'est faux. Mais cela donne souvent un premier résultat intéressant. - $R_0$ constant dans le temps. Le virus supportera t'il l'air sec de l'été ? - les guéris le restent et ne redeviennent pas susceptibles. # Conclusion On voit que le nombre de contaminés en même temps n'est pas soutenable pour le système de santé si $R_0$ est trop élevé. Notre seul vrai moyen d'action est de réduire $\beta$ pour réduire $R_0$. Il convient donc de tous participer à réduire $\beta,ドル s'isoler quand on suspecte une infection, porter un masque si on est infecté, se laver les mains dans tous les cas, tout le temps, _etc._

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