URL: https://linuxfr.org/news/des-nouvelles-du-frido
Title: Des nouvelles du Frido
Authors: LaurentClaessens
 Yves Bourguignon, Benoît Sibaud, palm123, Ysabeau 🧶, pulkomandy, BAud, tisaac, Matthieu et dourouc05
Date: 2022年09月03日T21:22:20+02:00
License: CC By-SA
Tags: mathématiques, livre et frido
Score: 62
[Le Frido](https://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/lefrido.pdf) est un livre libre de mathématique destiné aux plus motivés de l’agrégation et au-delà. Un seul bloc de 2600 pages allant de la construction des naturels jusqu’au bout : analyse, algèbre, probabilité, statistiques, etc.
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[page de téléchargement](https://laurent.claessens-donadello.eu/frido.html)
[achat du premier volume (pour les 3 autres, suivez les liens)](https://www.thebookedition.com/fr/le-frido-2022-volume-1-p-392667.html)
[les sources LaTeX](https://github.com/LaurentClaessens/mazhe)
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## Originalité
Le Frido fait de la mathématique « tout en un ». Il ne s’agit pas plus d’un livre d’algèbre que de topologie, d’analyse ou de statistiques. En principe, il contient à peu près tout ce qui est vu en licence, et une bonne partie des cours généraux au niveau du master.
Les résultats sont présentés dans le plus pur style « définition-lemme-lemme-lemme-théorème », et les démonstrations sont très détaillées.
Il y a ~~pas~~ ~~très peu~~ il ne devrait y avoir aucun d’abus de notations. Ça alourdit souvent le texte, mais au moins c’est correct.
## L’erreur de l’année
Chaque année, [un certain nombre d’erreurs](https://github.com/LaurentClaessens/mazhe/blob/master/erratum.md) sont détectées et corrigées. La « meilleure » faute du Frido 2021 est celle-ci (énoncé donné sans démonstration -- heureusement!) :> Une fonction de N vers R (donc une suite) est intégrable pour la mesure de comptage si et seulement si la série est convergente.
Pour le jeune padawan qui sait ce qu’est une mesure de comptage et qui sait à peu près [à quoi ça sert](https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fubini), cet énoncé a l’odeur de la vérité; on a envie d’y croire. 
L’œil un peu plus averti sentira que ça pue pour une histoire d’ordre de sommation.
## Version vendue
Le Frido est en perpétuelle évolution. Cependant, chaque année en septembre, je le prends tel qu’il est et en publie une version (en 4 volumes) à acheter chez [thebookedition](https://www.thebookedition.com). Et ceci, parce que le règlement de l’agrégation, pour des raisons qui ne me sont pas tout à fait claires, estime que le principe d’équité entre les candidats implique que les ouvrages utilisés doivent être commercialisés. Donc voila ; il est commercialisé.
## Vers la théorie quantique des champs
Le Frido contient, en français, la mathématique générale. Mais mon vrai but personnel est de faire de la théorie quantique des champs aussi loin que possible dans le style « définition-théorème ». Pour l’instant je n’en suis même pas à prouver la liste des représentations irréductibles du groupe de Lorentz.
[Giulietta](https://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/giulietta.pdf) contient le Frido et une grosse extension avec un paquet de géométrie différentielle. J’en suis aux groupes et algèbres de Lie.
## Changements depuis 2021
### Frido
- Un peu de géométrie dans le plan : droites, intersections, théorème de Thalès.
- Topologie minimale rendant continue une famille d’applications
- Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie.
- [e est irrationnel](https://www.youtube.com/watch?v=xOXsDfMMTjs)
- [Inégalités de Clarkson](https://math.stackexchange.com/questions/3208736/clarkson-inequality-for-complex-numbers)
- groupe symétrique : décomposition en cycles et en transpositions
- Angles dans C. Les racines de l’unité forment un polygone régulier convexe.
- Sous-groupes d’un groupe cyclique
- Somme directe d’espaces vectoriels topologiques (et l’occasion pour moi de me taper la honte sur [la page de discussion de Wikipédia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Sous-espace_suppl%C3%A9mentaire))
### Giulietta
- Mesure de Haar (via Kakutani).
- Les immersions sont des plongements locaux.
- Exponentielle entre l’algèbre de Lie et le groupe de Lie. 
- Théorème de représentation de [Riezs-Kakutani](https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_repr%C3%A9sentation_de_Riesz_(Riesz-Markov)) (lien entre mesure, intégrale et forme linéaire sur l’ensemble des fonctions continues)
- Théorème de Frobénius
- Fonction modulaire et représentations unitaires d’un groupe de Lie compact.
### LaTeX
- Passage de tous les fichiers au linter.
- Ajout d’un script pour changer les expressions entre ``$...$`` en `\(...\)` (par Alain Vigne).
- Création d’un environnement « subproof » basé sur description, mais en mieux pour diviser les démonstrations en parties. Par [John Kormylo](https://tex.stackexchange.com/questions/640370/refstepcounter-inside-description-item/640423#640423)
- Arrêter d’utiliser bibtex, et utiliser un script perso. [Les données](https://github.com/LaurentClaessens/mazhe/blob/master/bib_mazhe.json) sont dans [un JSON](https://fr.wikipedia.org/wiki/JavaScript_Object_Notation).
## Statistiquement neutre
Le Frido est un livre écrit « à l’ancienne » et contient donc des phrases comme « CETTE fonction (féminin) est UN exemple (masculin) de etc », sur le modèle de « madame le ministre », désormais désuet.
Par contre, pour m’adresser à la personne qui lit, j’ai écrit une macro LaTeX qui utilise le féminin ou le masculin de façon aléatoire. C’est la macro [randomGender](https://github.com/LaurentClaessens/mazhe/blob/master/e_mazhe.tex). Elle n’est pas cryptographiquement sûre, mais je crois qu’elle fait le boulot d’être équilibrée et imprévisible.
Si je veux m’assurer que mon(a) che(è)r(e) lecteur(ice) est sû(u)r(e) d’avoir bien compris, j’écris aléatoirement « cher lecteur, es-tu sûr d’avoir compris ? » ou « chère lectrice, es-tu sûre d’avoir compris ? ». Comme le Frido est long, [la loi des grands nombres](https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres) m’assure que, globalement, le féminin est autant représenté que le masculin.
Voici le code LaTeX:
```latex
\newcounter{rndgendercont}
\newcommand{\randomGender}[2]{%
 \setcounter{rndgendercont}{%
 \numexpr\value{page}+\value{numtho}\relax%}%
 \ifthenelse{\isodd{\value{rndgendercont}}}{#1}{#2}%
}
```
En réalité, ce qui est pris pour « aléatoire » est la parité de la somme du numéro du dernier théorème (`\value{numtho}`) et du numéro de la page (`\value{page}`).
Pourquoi ne pas utiliser un vrai nombre aléatoire ? Voyons l’exemple suivant.
```latex
\begin{remarque}
Ici, \randomGender{le lecteur attentif}{la lectrice attentive} 
aura remarqué l’utilisation de l’axiome du choix via le lemme de Zorn.
Le lemme de Zorn étant largement hors programme, à moins que 
tu sois \randomGender{sûr}{sure} de ton coup, 
n’en parle pas au jury.
\end{remarque}
```
Il est important que l’appel à `randomGender` retourne le même résultat dans les deux appels à l’intérieur de l’environnement.
Je trouve que c’est une manière mathématiquement élégante de neutraliser le texte dans sa globalité, à défaut de neutraliser chaque phrase séparément.
## Défi de programmation et de LaTeX
Prendre en entrée sous forme de string un fichier `toc` et sortir sous forme de string le même fichier `toc`, mais modifié de telle sorte que les « é » soient classées avec les « e ».
De préférence en Python, mais comme je n’ai peur d’aucun `subprocess.getoutput`, allez-y en bash, en Perl ou en Rust si ça vous chante.
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