Ziegenproblem

29. Juli 2009

Gerhard Keller

17. August 2012: Ergänzung um meinen von diesem Blog abgewiesenen Beitrag

Wahrscheinlich haben Sie schon einmal vom Ziegenproblem geh?rt, das in vielen Publikationen als Beispiel f?r das Versagen der menschlichen Intuition dargestellt wird. Vielleicht hat man Sie auch schon mal in Ihrem Bekanntenkreis oder in einer Bildungseinrichtung von dessen angeblicher L?sung zu ?berzeugen versucht. Oder Sie geh?ren sogar zu den emp?rten Leserbriefschreibern, die die in den Zeitungen vorgestellte L?sung f?r Unsinn halten. Vielleicht aber auch zu den wenigen, die sich gegen den Rest der Welt auf der Seite des klaren mathematischen Sachverstands sehen.

Ich habe schon vor einigen Jahren einen Artikel verfasst, in dem ich sowohl auf das Problem selbst als auch auf den Verlauf der Debatte eingehe. Der Text enthält zahlreiche Aspekte und Fakten, die in der Regel unter den Tisch fallen, die aber f?r die Thematik wesentlich sind. Zur Aktualisierung habe ich ihn an einigen Stellen angepasst und erweitert. Ich hoffe, dass er auch f?r diejenigen, die zum ersten Mal vom Ziegenproblem h?ren, Unterhaltungswert besitzt. Der Beitrag ist recht lang geworden. Damit Sie nicht den ƒberblick verlieren, hier die Hauptthese: "Die behauptete Zwei-Drittel-L?sung f?r das Ziegenproblem, das um die Welt ging, ist falsch.?

Hier sei auch sicherheitshalber schon angemerkt, dass im folgenden stets davon ausgegangen wird, dass zu Beginn des Spiels die Wahrscheinlichkeit f?r alle drei T?ren, dass das Auto dahinter steht, jeweils gleich 1/3 ist.

Ein Auto und zwei Ziegen

Die wundersame Geschichte eines mathematischen Problems

Als Gero von Randow am 19. Juli 1991 in der ZEIT unter der ƒberschrift "Eingebung n?tzt nichts" einen Artikel zum "Ziegenproblem" (im Amerikanischen "Monty Hall Problem" nach dem Namen eines Showmasters) schrieb, schien die Sache nach viel Wirbel in den USA schon gelaufen.

Doch die hitzige Debatte ?ber eine Mathematikaufgabe, die auf den ersten Blick recht einfach erscheint, ging auch in Europa weiter. Einen Monat später schrieb von Randow schon den gr??eren Artikel "Eine ?berzeugende Logik", in dem er der umstrittenen L?sung Marilyn vos Savants, der intelligentesten Frau der Welt, zustimmte. Später schrieb er ein ganzes Buch mit dem Titel "Das Ziegenproblem" (Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 10. Auflage März 2001). Es folgten viele weitere Ver?ffentlichungen zum Thema, in denen die L?sung vos Savants verteidigt wird; darunter das Buch "The Power of Logical Thinking" von Marilyn vos Savant selbst (St. Martin's Press, New York, 1996), in dem das "Monty Hall Dilemma" einen gro?en Raum einnimmt.

Verlauf und aktuellen Stand der ?ffentlichen Debatte kann man folgenderma?en zusammenfassen: In der amerikanischen Zeitschrift "Parade" werden im September 1990 nach einer Leseranfrage das Problem und seine angebliche L?sung von Marilyn vos Savant vorgestellt. Tausende von Leserbriefen widersprechen dieser L?sung. ƒberall, wo die Aufgabe seither gestellt wird, läuft die Debatte nach diesem Muster ab: Ver?ffentlicht wird das Problem von Vertretern der L?sung vos Savants, und die erneut folgenden zahlreichen Proteste werden nur als Bestätigung daf?r genommen, dass die "menschliche Intuition" in diesem Fall präziser mathematischer Begr?ndung nicht standhalte.

Worum geht es?

"Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen T?ren auswählen sollen. Hinter einer T?r wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine T?r, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator wei?, hinter welcher T?r sich das Auto befindet; mit den Worten 'Ich zeige Ihnen mal was' ?ffnet er eine andere T?r, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: 'Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?'"

So formuliert Gero von Randow die Aufgabe in seinem Buch (S. 7); und in einem weiteren ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 wird das analoge Problem gestellt. Auch diesem Artikel folgte bald ein weiterer von Gero von Randow, in dem er Marilyn vos Savants L?sung verteidigte:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter T?r zwei steht, beträgt zwei Drittel."

Kritik an der Kombination aus Aufgabe und L?sung

Gleich nach dem ersten ZEIT-Artikel im Jahr 1991 habe ich Marilyn vos Savant sowohl mit mathematischen Begr?ndungen als auch mit anschaulichen Argumenten recht gegeben. Meinen Vorschlag, man spiele mit hundert anstatt nur mit drei T?ren, hat von Randow damals in seinen zweiten Artikel und später in sein Buch (S. 10) ?bernommen (s.a. z.B. diesen Bezug im Internet (13.7.2009)) .

Allerdings hatte ich damals hinzugef?gt und in einem weiteren Brief ausf?hrlich begr?ndet, dass die Zwei-Drittel-L?sung nur richtig ist, wenn der Moderator nach der ersten Wahl durch die Spielregel zum ƒˆffnen einer nicht gewählten Ziegent?r gezwungen ist.

(Kopien meiner beiden Briefe an die ZEIT aus dem Jahr 1991 habe ich diesem Artikel unten als Anhang beigef?gt.)

Da das Problem im Jahr 1991 mit der Zwei-Drittel-L?sung als endg?ltig gel?st vorgestellt wurde, hatte ich angenommen, dass in der Original-Problemstellung, die Marilyn vos Savant ver?ffentlicht hatte, die erwähnte Spielregel enthalten war. Als ich vor einigen Jahren erneut auf das Ziegenproblem gesto?en bin, war ich ?berrascht zu sehen, dass das nicht der Fall gewesen war.

Ohne ausf?hrlich zu werden, kann man leicht begr?nden, weshalb die Zwei-Drittel-L?sung ohne diese oder eine gleichwertige Spielregel falsch ist:

Man nehme an, dass der Moderator eine andere T?r nur dann ?ffnet, wenn der Kandidat mit der ersten Wahl recht hatte. Wenn dann die Show in der ?blicherweise geschilderten Weise abläuft, verliert der Kandidat bei einem Wechsel hundertprozentig.

Auf diese Gedanken sind nat?rlich auch andere gekommen; und auch die Vertreter der Zwei-Drittel-L?sung haben davon erfahren. Und damit wären wir bei der eigenartigsten Phase der Debatte angelangt.

Die "Debatte" wird grotesk

In Fu?noten, weiteren zusätzlichen Abschnitten oder bei der Begr?ndung der L?sung wurde später oft mitgeteilt, dass die L?sung vos Savants nur korrekt ist, wenn die erwähnte Spielregel gilt. In die Aufgabenstellung selbst, wie sie beispielsweise von Bildungsforschern Sch?lern vorgelegt wurde (siehe DIE ZEIT, 18.11.2004; hier die Internet-Version), wurde die Regel aber nicht aufgenommen. Trotzdem wurde die Zwei-Drittel-L?sung als einzig richtige L?sung vorgestellt. Und meistens wird auf diese Spielregel auch in den Beiträgen, in denen sie an irgendeiner Stelle inzwischen erwähnt wird, bei der Begr?ndung der L?sung ?berhaupt kein Bezug genommen.

Das ist umso erstaunlicher, als schon am 21. Juli 1991 - zwei Tage nach dem ersten ZEIT-Artikel Gero von Randows - auf Seite 1 der Sonntagsausgabe der New York Times ein Artikel von John Tierney erschienen war mit der Absicht, das Problem ein f?r alle Mal zu klären. Es wurden dazu die vier Personen befragt, denen man diese Klärung am ehesten zutraute: Martin Gardner, der bekannte Autor mathematischer Knobelaufgaben; Persi Diaconis, sowohl Professor f?r Statistik an der Harvard und an der Stanford University als auch erfahrener Zauberk?nstler; Marilyn vos Savant selbst sowie der Showmaster Monty Hall, von dem das Problem seinen Namen hat. (Die Internet-Version dieses Artikels ist hier zu finden.)

DER SPIEGEL beispielsweise bezieht sich zwar in der Ausgabe vom 19. August 1991 auf diesen Artikel, lässt jedoch folgende Einwände einfach weg:

"'The problem is not well-formed,' Mr. Gardner said, 'unless it makes clear that the host must always open an empty door and offer the switch. Otherwise, if the host is malevolent, he may open another door only when it's to his advantage to let the player switch, and the probability of being right by switching could be as low as zero.' Mr. Gardner said the ambiguity could be eliminated if the host promised ahead of time to open another door and then offer a switch.

Ms. vos Savant acknowledged that the ambiguity did exist in her original statement. She said it was a minor assumption that should have been made obvious by her subsequent analyses, and that did not excuse her professorial critics. 'I wouldn't have minded if they had raised that objection,' she said Friday, 'because it would mean they really understood the problem. But they never got beyond their first mistaken impression. That's what dismayed me.'

Still, because of the ambiguity in the wording, it is impossible to solve the problem as stated through mathematical reasoning. 'The strict argument, ' Dr. Diaconis said, 'would be that the question cannot be answered without knowing the motivation of the host.'

Which means, of course, that the only person who can answer this version of the Monty Hall Problem is Monty Hall himself. Here is what should be the last word on the subject:

'If the host is required to open a door all the time and offer you a switch, then you should take the switch,' he said. 'But if he has the choice whether to allow a switch or not, beware. Caveat emptor. It all depends on his mood.'"

F?r diejenigen, die den englischen Text nicht verstehen, hier meine ƒbersetzung dieser Passage:

"?Das Problem ist nicht gut formuliert', sagte Herr Gardner, 'es sei denn, es stellt klar, dass der Showmaster immer eine Nietent?r ?ffnen und den Wechsel anbieten muss. Im anderen Fall k?nnte der Showmaster, wenn er es schlecht mit dem Kandidaten meint, eine andere T?r nur dann ?ffnen, wenn es zu seinem eigenen Vorteil ist, den Kandidaten wechseln zu lassen, und die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wechsel zu gewinnen, wäre dann sogar gleich null.' Herr Gardner sagte, die Mehrdeutigkeit k?nne beseitigt werden, wenn sich der Showmaster ganz am Anfang verpflichtete, eine andere T?r zu ?ffnen und den Wechsel anzubieten.

Frau vos Savant bestätigte, dass ihre urspr?ngliche Formulierung diese Mehrdeutigkeit enthielt. Sie sagte, es sei eine kleine Zusatzannahme, die sie in ihren nachträglichen Betrachtungen hätte deutlich machen sollen, was aber ihre akademischen Kritiker nicht entschuldige. 'Es hätte mir nichts ausgemacht, wenn sie diesen Einwand gebracht hätten', sagte sie am Freitag, 'weil das bedeuten w?rde, dass sie das Problem wirklich verstanden haben. Aber sie gingen nie hinter ihre erste fehlerhafte Reaktion zur?ck. Das war enttäuschend.'

Aber es bleibt: Wegen der Unklarheit der Formulierung ist es unm?glich, das Problem, so wie es gestellt ist, durch mathematische Argumentation zu l?sen. 'Genau genommen muss man sagen', erklärte Dr. Diaconis, 'dass die Frage nicht beantwortet werden kann, ohne die Beweggr?nde des Showmasters zu kennen.'

Und das hei?t, dass die einzige Person, die zu dieser Version des Monty-Hall-Problems die richtige Antwort geben kann, Monty Hall selbst ist. Das sollte also das letzte Wort zum Thema sein:

'Wenn der Showmaster gezwungen ist, immer eine T?r zu ?ffnen und den Wechsel anzubieten, dann sollten Sie wechseln', sagte er. 'Aber wenn er die Wahl hat, einen Wechsel anzubieten oder nicht, dann aufgepasst! Keine Garantie! Alles hängt von seiner Laune ab.'"

Am Ende kann man in einem unstrukturierten Absatz, dessen formale Bedeutung innerhalb des Internet-Artikels nicht klar ist, eine Variante der Aufgabenstellung finden, in der es an der entscheidenden Stelle entsprechend den Einwänden jetzt hei?t:

"'First you point to a door,' he explains. 'Then I'll open one of the other doors to reveal a goat. After I've shown you the goat, you make your final choice, and you win whatever is behind that door.'"

(ƒbersetzung: "'Zunächst zeigen Sie auf eine T?r', erklärt er. 'Dann werde ich eine der anderen T?ren mit einer Ziege dahinter ?ffnen. Nachdem ich die Ziege gezeigt habe, wählen Sie endg?ltig eine T?r aus, und Sie gewinnen, was sich hinter dieser T?r befindet.'")

Obwohl es kaum zu glauben ist, kann nicht nur der Bezug des SPIEGEL auf diesen Artikel (s.o.), sondern sogar der des Autors John Tierney selbst als Musterbeispiel der auf den ersten Blick rätselhaften Reaktion innerhalb der "Zwei-Drittel-Fraktion" auf die Kritik an der Aufgabenstellung gelten:

Genau wie der SPIEGEL, der auf die Einwände Diaconis?, Gardners und Monty Halls ?berhaupt nicht einging, greift Tierney in einem Artikel der New York Times vom 8. April 2008 das Ziegenproblem erneut auf, sogar mit einem Verweis auf seinen Artikel von 1991, aber so, als hätte es dort zu der Aufgabe, die die Kontroverse ausgel?st hatte, keinerlei Einwände gegeben. Scheinbar bruchlos hei?t es im Artikel von 2008 an der entsprechenden Stelle jetzt:

"You start by picking a door, but before it’s opened Monty will always open another door to reveal a goat. Then he’ll let you open either remaining door.?

(ƒbersetzung: "Sie beginnen, indem Sie eine T?r wählen. Aber bevor sie ge?ffnet wird, ?ffnet Monty immer eine andere T?r mit einer Ziege. Dann lässt er Sie eine der verbleibenden T?ren ?ffnen.")

Das Ziegenproblem wird wieder als herausragendes Beispiel f?r das Scheitern der menschlichen Intuition dargestellt. Auf welche Aufgabenstellung aber die Reaktionen der gro?en Mehrheit gefolgt waren, spielt f?r Tierney ?berhaupt keine Rolle.

Und in dem interaktiven Spiel, auf das zur ƒberzeugung der Zweifler im Artikel verwiesen wird, hei?t es an der entscheidenden Stelle:

"But before Monty Hall opens the door you chose, he wants to make the game more interesting. He opens one of the other doors to reveal a goat."

(ƒbersetzung: "Aber bevor Monty Hall die T?r ?ffnet, die Sie gewählt haben, m?chte er das Spiel interessanter machen. Er ?ffnet eine der anderen T?ren mit einer Ziege.")

Bis zu den Verfassern dieses "Beweises" hatte es sich also auch im April 2008 noch nicht herumgesprochen, dass man die urspr?ngliche Aufgabe umformulieren muss, damit die von den Publizisten des Ziegenproblems behauptete L?sung stimmt:

Die Formulierung "he wants to make the game more interesting" ("Er m?chte das Spiel interessanter machen") zeigt, dass gerade nicht davon ausgegangen wird, dass der Moderator auf Grund einer Spielregel keinerlei Handlungsspielraum hat, sondern dass er vielmehr selbst den weiteren Verlauf des Spiels bestimmen kann; was die Zwei-Drittel-L?sung wie ein Kartenhaus zusammenst?rzen lässt. Doch das ist noch nicht das Ende: Nachdem das Spiel gespielt ist, hei?t es im zweiten Fenster der Begr?ndung der Zwei-Drittel-L?sung:

"The critical aspect of the problem is that Monty Hall always opens a door to reveal one of the goats."

(ƒbersetzung: "Der kritische Punkt bei dem Problem ist, dass Monty Hall immer eine Ziegent?r ?ffnet.")

Nehmen wir einmal an, dass damit wirklich gemeint ist, dass der Moderator durch die Spielregel zum ƒˆffnen einer nicht gewählten Ziegent?r gezwungen ist, so stellt sich doch die Frage: Warum wurde das nicht gleich gesagt? ? Aber ich habe offensichtlich den falschen Kindergarten besucht.

Bevor ich weiter unten noch weitere Bemerkungen zu der Konfusion machen werde, die die Publizisten des Ziegenproblems hervorgerufen haben und die von vielen weitergetragen wird, die schlie?lich nach schwerem Ringen zur Zwei-Drittel-L?sung ihr "Ja-Wort" gegeben haben, m?chte ich noch kurz darauf hinweisen, dass es hier bei der Darstellung der unterschiedlichen Aufgabenformulierungen darum geht, ob jeweils ein Problem mit einer Zwei-Drittel-L?sung oder aber mit einer "Halbe-Halbe"-L?sung vorliegt.

(Darauf, dass bei der durch Marilyn vos Savant und Gero von Randow vorgelegten Problemstellung nicht nur die Zwei-Drittel-L?sung falsch, sondern die "Halbe-Halbe"-L?sung auch unter strengen mathematischen Gesichtspunkten die korrekte L?sung ist, werde ich unten noch näher eingehen.)

Warum wurde auf die Kritik nicht angemessen reagiert?

Es ergibt sich nun die Frage, warum eine Problemstellung, die f?r jahrzehntelange Auseinandersetzungen sorgt, trotz der beschriebenen Einwände meistens nicht so formuliert wird, dass die angebliche L?sung auch zur Aufgabe passt.

Mir fällt nur eine plausible Antwort ein: Die meisten Vertreter der Zwei-Drittel-L?sung haben das Problem zunächst nicht verstanden. Und die "Mitläufer" verstehen es bis heute nicht.

Je klarer die Bedeutung der Spielregel in der Zwei-Drittel-Fraktion wurde, desto mehr schien man sich in den "Forschungen" zum Ziegenproblem der Frage zu widmen:

"Wie k?nnen wir den Fehler in der Aufgabenstellung vertuschen?"

Marilyn vos Savant beginnt in ihrem Buch die Einleitung zum Thema mit der oben formulierten Aufgabe (?brigens ohne den Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was"), die ihr von einem Leser gestellt worden war. Ihre erste Antwort lautete:

"Yes, you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, the second door has a 2/3 chance. Here's a good way to visualize what happened: Suppose there are a million doors, and you pick door number 1. Then the host, who knows what's behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door number 777,777. You should switch to that door pretty fast, wouldn't you?"

(ƒbersetzung: "Ja, Sie sollten wechseln. Die erste T?r hat eine Gewinnchance von 1/3, die zweite von 2/3. Hier eine gute M?glichkeit zur Veranschaulichung des Geschehens: Nehmen wir an, es gibt eine Million T?ren, und Sie wählen T?r 1. Dann ?ffnet der Showmaster, der wei?, was sich hinter den T?ren befindet, und die T?r mit dem Preis stets meidet, alle au?er T?r 777777. Sollten Sie dann nicht ganz schnell zu dieser T?r wechseln?")

Aus ihrer Beschreibung der sich anschlie?enden Phase, während der sie zehntausend Leserbriefe erhielt, von denen 90 Prozent ihre L?sung f?r falsch hielten, geht an einigen Stellen hervor, dass es Leser gab, die Kritik an der Aufgabenstellung ?bten. Aber weit davon entfernt, diesen Einwänden den Stellenwert einzuräumen, den sie verdienten, hebt vos Savant lediglich ihre These hervor, dass die gro?e Mehrheit die Aufgabe so verstanden habe, dass die Zwei-Drittel-L?sung richtig gewesen wäre. Damit kann sie auch bei ihrem Leitgedanken zum Ziegenproblem bleiben: Dass es ein ideales Beispiel f?r eine Fragestellung sei, bei der die menschliche Intuition versagt.

Interessanterweise enthält das Buch vos Savants einen 25-seitigen Anhang von Donald Granberg von der University of Missouri, der die zehntausend Leserbriefe näher analysierte. Am Anfang fasst er den Stand der Diskussion zustimmend so zusammen, dass Marilyns Antwort unter sieben "hoch plausiblen Annahmen" im wesentlichen korrekt sei. Die vierte Annahme beinhaltet die Verpflichtung des Moderators, nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegent?r zu ?ffnen, die letzte, dass der Showmaster vertrauensw?rdig sein muss.

Auch einige der von Granberg vorgestellten Leserbriefe beinhalten durchaus stichhaltige Argumente gegen die L?sung vos Savants f?r die gestellte Aufgabe. Aber auch Granberg kann sich nicht zu der Forderung durchringen, dass die Spielregeln in die Aufgabenstellung geh?ren und nicht nur in die Begr?ndung der L?sung.

Wikipedia mischt munter mit

Denselben Fehler enthält die erste Version aus dem Jahr 2002 zum Ziegenproblem im Internet-Lexikon Wikipedia. Bemerkenswert ist dann der kleine, etwas verloren wirkende Zusatz zur Aufgabe, der sich vom 18. auf den 19. Januar 2005 hineingeschlichen hat: "Der Ablauf ist dabei immer wie folgt." Später wurde ein separater Abschnitt zur "Unschärfe" der urspr?nglichen Problemstellung hinzugef?gt. Die Version vom 21.8.2008 enthielt dann sowohl analog zu Granberg eine Aufgabenstellung aus sieben Einzelpunkten als auch die "originale Problemstellung". Im Artikeltext wurden die beiden Aufgaben allerdings so behandelt, als seien sie gleichwertig. Und das "Verständnisproblem" wurde nach wie vor nur bei denen diagnostiziert, die der Zwei-Drittel-L?sung widersprochen hatten.

Auch in der jetzigen Version von Wikipedia (16. Juni 2009, 15 Uhr), die einige korrekte Beweise zur im Granberg-Stil verbliebenen Aufgabe (s.o.) enthält, sind die "Nachwirkungen" des falschen Verständnisses auf Seiten einiger Autoren noch stark sp?rbar: So wird zwar unter Bezug auf einen Artikel von Marc Steinbach, in dem er die m?glichen Spielvarianten detailliert analysiert, darauf hingewiesen, dass in der urspr?nglich gestellten Aufgabe "zwei wesentliche Punkte ? nicht formuliert" sind; trotzdem wird im letzten Satz des entsprechenden Abschnitts die "Kontroverse" als Reaktion auf die "richtige" Antwort Marilyn vos Savants dargestellt. Und die Literaturangaben, die von der urspr?nglichen Aufgabenstellung ausgehen und deren Problematik mit keinem Wort erwähnen, hat man einfach kommentarlos stehen lassen.

Dabei ist besonders aufschlussreich, dass in der deutschen wie auch in der englischen Wikipedia auf Beiträge verwiesen wird, deren Autoren im ƒberschwang der Freude dar?ber, zu den Besserwissenden zu geh?ren, die Aufgabe durch Ausschm?ckungen wie Gero von Randow mit seinem Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was" ungl?cklicherweise "in die verkehrte Richtung" verändern, so dass sie ihre Behauptung selbst widerlegen, sie hätten die G?ltigkeit der entscheidenden Spielregel als Selbstverständlichkeit vorausgesetzt.

Am 7. Juni 2007 wurde ?brigens ?ber der ?ffentlichen Diskussionsseite zum Ziegenproblem-Artikel in Wikipedia selbstbewusst ein "Verbotsschild" f?r diejenigen angebracht, die an der Zwei-Drittel-L?sung zweifeln. Doch es fehlt der Hinweis, seit welcher Aufgabenversion die Zwei-Drittel-L?sung tatsächlich korrekt ist.

Zu der inzwischen in der Zwei-Drittel-Fraktion weit verbreiteten Methode der "Anpassung der Aufgabe an die L?sung" fällt mir zwar zunächst wieder nur ein, dass ich wohl den falschen Kindergarten besucht habe. Aber gleichzeitig liefert die Erinnerung an jene Zeit auch eine passende Analogie:

In einem Zirkus trat ein Elefant auf, der rechnen konnte. Es lief so ab, dass der Dompteur nacheinander zwei Gruppen von Stäben zeigte. Der Elefant sollte durch Stampfen die Summe anzeigen. Zunächst lief alles gut. Aber bei "3 + 4" stampfte er achtmal. Nach der Kritik von Publikum und Dompteur schnappte er mit dem R?ssel einen Stab aus der Hand des Dompteurs und zerbrach ihn in zwei St?cke.

ƒbrigens hat der Elefant zu seiner These keine Literaturangaben gemacht. Der Wikipedianer w?rde sie deshalb als reine "Theoriefindung" verwerfen. Andererseits konnte es dem Elefanten deshalb auch nicht passieren, weiterhin auf Quellen zu verweisen, in denen steht: "3 + 4 = 8".

Denkfehler

Meiner Ansicht nach wird bei vielen in der Zwei-Drittel-Fraktion auch heute noch nicht der Unterschied zwischen der blo?en Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegent?r ?ffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist f?r die Begr?ndung der Zwei-Drittel-L?sung, insbesondere auch f?r das "Nachspielen" und f?r "Computer-Beweise".

Während die gro?e Mehrheit zwischen der ersten Wahl des Kandidaten und der Handlung des Moderators offensichtlich ?berhaupt keine Kopplung sieht und deshalb - bei der vorgelegten Aufgabenstellung durchaus korrekt - auf gleichen Chancen f?r beide verbleibenden T?ren besteht, ging die Zwei-Drittel-Fraktion offenbar von einer Kopplung aus, die aber im Nebel geblieben und deshalb in der Aufgabe nicht explizit formuliert worden ist.

Diesen von mir vermuteten Denkfehler habe ich in meinem Brief 1991 so formuliert: "Ich denke mir T?r eins. Der Moderator ?ffnet T?r drei. Also habe ich jetzt mit T?r zwei eine Zwei-Drittel-Chance." Auf der Basis dieses Fehlers, der sich nat?rlich nicht so "explizit" zeigen muss wie in meiner Formulierung, lassen sich einleuchtend scheinende Fallunterscheidungen, dekoriert mit Bildern von Autos und Ziegen, zur Begr?ndung der Zwei-Drittel-L?sung aufstellen. Und dieser Denkfehler d?rfte der Grund daf?r sein, dass die erforderliche Spielregel nicht in die Aufgabenformulierung aufgenommen worden ist.

Eine Bestätigung f?r diese Vermutung liefert ungewollt Gero von Randow, ein prominenter Vertreter der Zwei-Drittel-L?sung:

Auf S. 52 seines Buchs "Das Ziegenproblem" schildert er unter "Mein Irrtum" eine Spielvariante von Dr. Bijan Sabzevari. Diese Variante enthält analog zu dem von mir beschriebenen "Denkfehler" auch einen Gedanken als ersten "Spielzug". Das Sabzevari-Spiel lässt von Randow zunächst glauben, dass die Zwei-Drittel-L?sung auch ganz ohne den Zwang einer Spielregel folgt.

Wäre f?r von Randow die erwähnte Spielregel tatsächlich eine "Selbstverständlichkeit" und entscheidende Voraussetzung f?r die Zwei-Drittel-L?sung gewesen, hätte er in dem bei der Sabzevari-Varianten "explizit" fehlenden Zwang sofort den entscheidenden Unterschied und den Grund f?r eine 50:50-L?sung gesehen. Nach seinem "Irrtum" schreibt er schlie?lich - auf Seite 57; d.h. 50 Seiten nach der oben wiedergegebenen Leitaufgabe des Buchs:

"Die Savant'sche L?sung ist also nur richtig, wenn der Moderator weder die Autot?r noch die erstgewählte T?r aufmachen darf."

Nachdem er also zumindest einen Teil der richtigen Aufgabenstellung aus seiner L?sung hergeleitet hat, fordert er seltsamerweise nicht die explizite Formulierung dieser Spielregel f?r das Ziegenproblem, sondern zieht die Kritik an der fehlenden Spielregel in dem folgenden Abschnitt "Ist das Ziegenproblem unl?sbar?" ins Lächerliche; ?brigens ohne Namen von Kritikern wie Gardner, Diaconis oder Monty Hall zu nennen. Er ist offensichtlich anderer Meinung als Marilyn vos Savant, die den "Kritikern" immerhin bescheinigt, das Problem wirklich verstanden zu haben.

Bei seiner Begr?ndung daf?r, dass man die zur Debatte stehende Spielregel auch weglassen kann, da sie sich angeblich als "zwanglose" Annahme ergibt,hebt er die folgenden Punkte besonders hervor, obwohl durch sie diese Annahme keineswegs in objektiv nachvollziehbarer Weise nahegelegt wird (S.58):

"Wir haben:

- Eine Spielshow

- Den Hinweis auf das Wissen des Moderators

- Seine ƒgu?erung 'Ich zeige Ihnen mal was'. "

So sieht also seine Widerlegung der von ihm auf Seite 13 ironisch erwähnten "messerscharfe(n) Contra-Argumente" von "scharfsinnigen Leute(n)", "vornehmlich Mathematiker und Philosophen", aus.

In dem ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 (s.o.) und in dem von Gero von Randow pers?nlich geschriebenen Folgeartikel fällt die Problematik der Aufgabenstellung jedoch v?llig unter den Tisch.

Weite Verbreitung der falschen L?sung

Verständlich, dass sich beim Schulbesuch von Bildungsforschern an einem Berliner Gymnasium ausgerechnet die Sch?ler des Leistungskurses Mathematik der 13. Klasse dem Unterjubeln der Zwei-Drittel-L?sung, diesem "Triumph der Didaktik", am stärksten widersetzten (DIE ZEIT, 18.11.2004; s.o.). Beim zweiten Versuch haben die "Mathe-Cracks" dann die Bildungsforscher durch Zustimmung zufriedengestellt.

Was die Vertreter der Zwei-Drittel-L?sung - auch ohne die erwähnte Spielregel - so sicher gemacht hat, ist die scheinbar ebenso einfache wie "einleuchtende" Begr?ndung, die ?brigens auch Donald Granberg allein nicht anerkennt. Sie lautet:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter T?r 1 steht, beträgt 1/3. Wenn ich bei meiner ersten Wahl bleibe, gewinne ich also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel beträgt daher meine Gewinnchance 2/3."

Diese Argumentation ist bei der vorgelegten Aufgabenstellung falsch. Zwar beträgt am Anfang die Wahrscheinlichkeit f?r "T?r 2 oder 3" zwei Drittel. Nach ƒˆffnen von T?r 3 ist aber die Wahrscheinlichkeit f?r die beiden verbleibenden T?ren jeweils gleich 1/2 - egal, ob der Kandidat vorher auf T?r 1 oder sonstwohin gezeigt hat oder auch nicht. T?r 2 "erbt" nur dann die Ein-Drittel-Wahrscheinlichkeit der ge?ffneten T?r 3, wenn das ƒˆffnen einer nicht gewählten Ziegent?r durch den Moderator von der Spielregel erzwungen worden ist.

Erst mit dieser Spielregel kann folgender ebenso einfache wie entscheidende Schritt zum Verständnis der Zwei-Drittel-L?sung zum Ausdruck gebracht werden, der f?r alle Interessierten unmittelbar verständlich sein d?rfte:

Wenn der Kandidat bei seiner zweiten Wahl die T?r wechselt, gewinnt er in zwei Drittel der m?glichen Fälle. Am Beispiel: Wählt er am Anfang T?r 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter T?r 2 steht, als auch, wenn es hinter T?r 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder T?r 3 oder T?r 2 ?ffnen, und der Kandidat ?ffnet anschlie?end die andere dieser beiden T?ren.

Auch nur mit der genannten (oder einer gleichwertigen) Spielregel ist die zentrale Aussage zur Begr?ndung der Zwei-Drittel-L?sung des Ziegenproblems, die von der konkreten Situation vor der zweiten Wahl ausgeht, ?berhaupt erst formulierbar:

Angenommen, der Kandidat "wählt" zu Beginn T?r 1. Dann ist die Wahrscheinlichkeit daf?r, dass der Moderator T?r 3 ?ffnet, wenn das Auto hinter T?r 2 steht (p = 1), doppelt so gro? wie die Wahrscheinlichkeit daf?r, dass er T?r 3 ?ffnet, wenn das Auto hinter T?r 1 steht (p = 1/2 (Annahme; s.u.)).

Das Ziegenproblem reiht sich damit sofort nahtlos in alle Aufgabenstellungen ein, bei denen eine Aktion A mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit durchgef?hrt wird, je nachdem, ob Ereignis E1 oder Ereignis E2 vorliegt. Beim "R?ckschluss" nach dem (plausiblen) Satz von Bayes f?hren diese unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten unter der Bedingung, dass Aktion A durchgef?hrt wurde, zu entsprechend unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten f?r die Ereignisse E1 und E2 selbst.

Die weit verbreiteten Begr?ndungsversuche, die ohne diese (oder analoge) Gedankengänge auszukommen versuchen, beginnen meist mit dem "Befehl", dass sich die Wahrscheinlichkeit f?r die gewählte T?r ja durch das ƒˆffnen einer anderen Nietent?r nicht ändere, was schon zeigt, dass man auf eine Scherzaufgabe hereingefallen ist. Nach diesem ersten Satz, der eigentlich zu beweisen wäre, was aber nicht gelingen kann, folgen dann konfuse Er?rterungen mit dem Resultat, dass das Ziegenproblem zur Erklärung der eigenen Verwirrung zum "Wunder" erklärt wird.

Ein entscheidender Grund daf?r, dass von vielen aus der Zwei-Drittel-Fraktion der entscheidende Fehler nicht erkannt worden ist, d?rfte auch gewesen sein, dass man durch häufiges "Nachspielen" oder entsprechende Computerprogramme die Zwei-Drittel-L?sung scheinbar "beweisen" kann. Dass dabei aber die nicht formulierte Spielregel als unausgesprochene Voraussetzung in den "Beweis" einflie?t, wurde nicht erkannt.

Entsprechendes gilt f?r die Anwendung mathematischer Formeln, bei der Wahrscheinlichkeiten f?r die einzelnen Ereignisse vorausgesetzt werden, die durch die Aufgabenstellung nicht gegeben sind.

Intuition gegen Unterjubeln

Die Reaktion der gro?en Mehrheit auf die angebliche Zwei-Drittel-L?sung f?r das "Ziegenproblem" kann man durchaus so interpretieren, dass sie "intuitiv" richtig erkannte, dass an der Sache etwas faul ist - nur dass sie nicht genau sagen konnte, wo der Haken liegt.

Das Ziegenproblem hat als "bestes Beispiel f?r das Scheitern menschlicher Intuition" deshalb eine so gro?e Ber?hmtheit erlangt, weil die behauptete L?sung gar nicht stimmte.

Allzu gern haben aber die Publizisten und ihre "Ja-Sager? auf das Scheitern der "Intuition? der gro?en Mehrheit hingewiesen ? und als "Konvertiten? die Geschichte ihrer eigenen "Bekehrung" geschildert. Und wenn unter denjenigen, die die Zwei-Drittel-L?sung f?r Unsinn hielten, auch bekannte Mathematiker und andere Wissenschaftler waren, wurde das nur als Bestätigung f?r die Einzigartigkeit des Ziegenproblems als Beleg f?r die Schwierigkeiten genommen, die der menschliche Verstand beim Umgang mit Wahrscheinlichkeiten hat.

In diesem Zusammenhang m?chte ich auch einmal die vielen guten Spieler erwähnen, die selbst in verwickelten Fällen Wahrscheinlichkeiten auf das genaueste einschätzen k?nnen. Und skeptisch hätte die Zwei-Drittel-Fraktion auch machen m?ssen, dass die massiven "Proteste" gegen die Zwei-Drittel-L?sung vorwiegend von Leuten kamen, die sich auf Grund ihres Wissens und ihrer Erfahrung diese "Einmischung" zutrauten.

Sofern die Einwände dieser Leute auf "Intuition" beruhten, wurde sie bestätigt.

Das Ziegenproblem ist in der Form, in der es vorwiegend durch die Medien und weite Bereiche der Gesellschaft ging, tatsächlich nichts anderes als eine Scherzaufgabe von folgendem Typ: Ich denke mir eine der Zahlen 1, 2 oder 3; und ich verrate, welche der beiden Zahlen 2 oder 3 es nicht ist: die 3.

Ziegenproblem als Paradebeispiel

Auf Grund der These vom Ziegenproblem als prägnantes Beispiel f?r die Unzulänglichkeiten des menschlichen Geistes haben sich nat?rlich schnell Vertreter aller m?glichen Fachgebiete an das Thema gehängt. Dass Pädagogen und Didaktiker ihren Hokuspokus zum Ziegenproblem als Durchbruch in ihren Disziplinen gefeiert haben, wurde schon erwähnt.

Aber auch Psychologen haben sich schnell mit Erklärungsversuchen zu Wort gemeldet. (Im oben erwähnten Artikel von 2008 greift John Tierney das Ziegenproblem wieder auf als Hilfe zur Analyse geistig-psychischer Prozesse. Affen kommen dort auch vor. Warum auch nicht. Im vorliegenden Artikel haben sich ja auch schon Elefanten als n?tzlich erwiesen.)

So wurde beispielsweise die Auffassung der gro?en Mehrheit zum Ziegenproblem, die Chancen seien bei beiden verbleibenden T?ren gleich, als psychisch begr?ndetes "Beharren" gewertet; nur weil bei der Einkleidung des Problems ein "Wechsel" vorkommt.

So unsinnig das Argument dieser Psychologen ist; f?r das vorliegende Thema ist es trotzdem n?tzlich:

Als "Beharren" lässt sich das Verbleiben bei der ersten "Wahl" nach dem Wechselangebot des Moderators nur dann werten, wenn die erste Aktion des Kandidaten eine echte Wahl ist mit der Hoffnung, damit das Auto zu gewinnen; und nicht eine Aufforderung an den Moderator, eine der beiden anderen T?ren mit einer Ziege zu ?ffnen, worauf die eigentliche Wahl ja erst folgen w?rde.

D.h. die Aufgabe wurde von diesen Wissenschaftlern so aufgefasst, wie sie auch formuliert ist, und mit der Zwei-Drittel-L?sung falsch gel?st.

Begr?ndung der 2/3-L?sung bei korrekter Aufgabenstellung

Mit der erwähnten Spielregel, dass der Moderator nach der ersten Wahl des Kandidaten eine nicht gewählte Ziegent?r ?ffnen und einen "Wechsel" anbieten muss, ergeben sich an dem Beispiel, dass der Kandidat zunächst T?r 1 "wählt", f?r die einzelnen Ereignisse folgende Wahrscheinlichkeiten.

Dabei folgen die Wahrscheinlichkeiten f?r die Punkte 3. und 4. direkt aus der genannten Spielregel; bei den Punkten 1. und 2. wird zusätzlich angenommen, dass der Moderator, wenn er laut Spielregel die Wahl zwischen zwei Ziegent?ren hat, keine gegen?ber der anderen bevorzugt (s.u.).

1. Auto hinter T?r 1 - Moderator ?ffnet T?r 2? : p = 1/6?? (Annahme)

2. Auto hinter T?r 1 - Moderator ?ffnet T?r 3? : p = 1/6?? (Annahme)

3. Auto hinter T?r 2 - Moderator ?ffnet T?r 3? : p = 1/3

4. Auto hinter T?r 3 - Moderator ?ffnet T?r 2? : p = 1/3

Wahrscheinlichkeit f?r T?r 2 nach ƒˆffnen von T?r 3: p = (1/3)/(1/3 + 1/6) = 2/3

An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass an der Aufgabenstellung von Fachleuten auch deshalb Kritik ge?bt wurde, weil aus ihr nicht streng geschlossen werden kann, dass die Wahrscheinlichkeiten f?r die Fälle 1. und 2. jeweils 1/6 betragen. Nur, dass deren Summe 1/3 betragen muss, folgt aus der Spielregel. Ohne die entsprechende Zusatzforderung in der Problemstellung wäre beispielsweise f?r die Wahrscheinlichkeiten der ersten beiden Fälle auch die Kombination 1/3 und 0 denkbar. Dies w?rde zwar die "durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit" von 2/3 bei einem "Wechsel" nicht ändern, aber diese Wahrscheinlichkeit w?rde "aufgespalten" in 2/3 der Fälle mit p=1/2 und 1/3 der Fälle mit p = 1.

L?sung der urspr?nglichen Aufgabe, die um die Welt ging

Nach den bisherigen Ausf?hrungen d?rfte die einfachste, durchaus korrekte "Begr?ndung" daf?r, dass die Gewinnchancen bei der von vos Savant und von Randow vorgelegten Aufgabe f?r beide verbleibenden T?ren gleich sind, nicht mehr ?berraschen. Es wird das Beispiel betrachtet, dass der Moderator T?r 3 ?ffnet:

1. Auto hinter T?r 1: p = 1/2

2. Auto hinter T?r 2: p = 1/2

Wer m?chte, kann es auch anders haben: Weil ganz zu Beginn jede der drei T?ren eine Gewinnchance von 1/3 hat, bleiben nach dem ƒˆffnen von T?r 3 die beiden folgenden Fälle ?brig:

1. Auto hinter T?r 1: p = 1/3

2. Auto hinter T?r 2: p = 1/3

Wahrscheinlichkeit sowohl f?r T?r 1 als auch f?r T?r 2: p = (1/3)/(1/3 + 1/3) = 1/2

Nun k?nnte es Leute geben, die hier anmerken, dass diese L?sung ?berhaupt nicht ber?cksichtigt, dass der Kandidat am Anfang eine T?r "gewählt" hat. Das ist richtig erkannt. In der Aufgabe steht ja auch nicht, dass das irgendeine Rolle spielt.

Fängt man nun an, dar?ber zu gr?beln, warum der Moderator beispielsweise T?r 3 ?ffnet, nachdem der Kandidat auf T?r 1 gezeigt hat, kann man auf viele Gedanken kommen. Gar nicht so abwegig ist die Annahme, die Monty Hall selbst durchgespielt hat (s.o), dass der Showmaster durch das Angebot eines Wechsels den Kandidaten nur von seiner richtigen Wahl abbringen will. Aber ebenso ist m?glich, dass ein wohlwollender Moderator den Wechsel nur anbietet, weil der Kandidat mit seiner ersten Wahl falsch lag. Au?erdem gibt es nat?rlich zahllose andere M?glichkeiten.

Marc Steinbach (s.o.) hat in seinen mathematischen Untersuchungen zum Ziegenproblem "alle m?glichen Strategien" des Moderators betrachtet, und das Resultat ist wenig ?berraschend: Wer nichts ?ber die Strategie des Moderators wei?, liegt mit der These richtig, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit f?r die beiden verbleibenden T?ren jeweils gleich 1/2 ist.

Nur einen kleinen Tipp sollte man dem Kandidaten laut Steinbach noch geben: Damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit tatsächlich genau 1/2 beträgt und nicht etwa gr??er oder gar kleiner ist, sollte er vor seiner Wahl eine M?nze werfen und seine Entscheidung von dem Resultat abhängig machen.

Aber wo bleibt da die Strategie der Freunde der Zwei-Drittel-L?sung? - Richtig: Sie muss ihre Existenz mit unzähligen anderen teilen, die eine andere L?sung haben. Aber versuchen wir trotzdem nachzuvollziehen, wie man zu ihrer Annahme kommen k?nnte, obwohl sie in der Aufgabe nicht formuliert ist:

Der Kandidat sieht, dass der Showmaster nach seiner Wahl eine andere T?r mit einer Ziege ?ffnet und ihm eine neue Wahl anbietet. Und aus dem, was er sieht, leitet er direkt die Handlungsmotivation f?r den Moderator ab: "Er hat nach der Strategie gehandelt, eine von mir nicht gewählte Ziegent?r zu ?ffnen."

Der Showmaster, der die Handlung vornimmt, sieht aber mehr als der Kandidat. Er wei? ja, wo das Auto steht. Die Strategie "Ich ?ffne jetzt eine nicht gewählte Ziegent?r" w?rde das Wissen ?ber die Autot?r nur daf?r ausn?tzen, dass das ƒˆffnen der Ziegent?r kein Fehlgriff wird. Aber warum soll er sein Wissen nicht f?r seine Strategie nutzen?

Zum Beispiel so: "Der Kandidat hat die Autot?r gewählt. Ich werde deshalb jetzt T?r x ?ffnen und einen Wechsel anbieten." Oder so: "Der Kandidat hat falsch gewählt. Ich werde jetzt T?r x ?ffnen und einen Wechsel anbieten." Oder auch so: "Bei den letzten drei Shows hat jeweils der Kandidat verloren. Das ist auf die Dauer weder f?r uns noch f?r den Sponsor gut. Der Kandidat hat schon wieder falsch gewählt. Ich werde ihm deshalb heute einen Wechsel anbieten."

Er k?nnte nat?rlich auch in anderer Weise als mit der Strategie "Ich ?ffne jetzt eine nicht gewählte Ziegent?r" einen Teil seines Wissens ignorieren, z.B. so:

"Nachdem der Kandidat eine T?r ausgewählt hat, werde ich die Ziegent?r 3 ?ffnen und ihm eine zweite Wahl anbieten."

Oder auch ganz anders.

Wie wenig plausibel die Strategie "Ich ?ffne jetzt eine nicht gewählte Ziegent?r" ist, sieht man noch besser, wenn man sie, ohne ihren Inhalt zu verändern, folgenderma?en ergänzt: "Ich ?ffne jetzt eine nicht gewählte Ziegent?r, und zwar unabhängig davon, ob der Kandidat die Autot?r gewählt hat oder nicht".

Es ist kein Grund daf?r ersichtlich, warum der Moderator gerade diese Strategie wählen sollte.

Viel wahrscheinlicher als die "Annahme" der "Strategie" "Ich ?ffne jetzt eine nicht gewählte Ziegent?r" durch die Zwei-Drittel-Fraktion ist ihr Irrtum, der darin besteht, nach oberflächlicher Betrachtung der Aufgabe und der Aufforderung durch die Publizisten zum "Beweis" zu schreiten unter der "Annahme", dass ein wiederholbares Experiment gegeben ist; was bei den vielen Beispielen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie z.B. beim W?rfeln oder beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne auch der Fall ist, aber beim Ziegenproblem von Marilyn vos Savant und Gero von Randow eben nicht.

Ergibt sich die Spielregel als "zwanglose Annahme"?

Häufig wurde auch die Behauptung aufgestellt, dass die Show immer in der gleichen Weise abgelaufen ist und dieser Ablauf als Spielregel angesehen werden kann. Abgesehen davon, dass diese Annahme bei einer Aufgabe, die man um die Welt schickt, schon in ihrer Formulierung enthalten sein m?sste, ist sie falsch. Denn die Show Monty Halls hat nie in dieser Weise stattgefunden, worauf Monty Hall selbst hingewiesen hat (s.a.o.). Er hatte stets alle Freiheiten. ("I am the host!" ("Ich bin der Chef!"))

Gero von Randow bringt sogar mit der Bemerkung des Moderators "Ich zeige Ihnen mal was", die er der Aufgabe hinzuf?gt, klar zum Ausdruck, dass er nicht von einer festliegenden Spielregel ausgeht. Auch zeigt der Moderator durch diese Aussage keineswegs, dass er jetzt nach dieser Regel spielt. Denn diese Bemerkung verträgt sich ja mit allen m?glichen Strategien, die beispielsweise zum ƒˆffnen von Ziegent?r drei f?hren, nachdem der Kandidat zunächst T?r eins gewählt hat.

Mehr noch: Der Moderator, der ja sowohl die Autot?r als auch die erste Wahl des Kandidaten kennt und der nicht schon vor der ersten Wahl bekannterma?en festgelegt ist, kennt eigentlich nur zwei "Strategien", die dem beschriebenen Ablauf entsprechen und die sich hinter der Bemerkung "Ich zeige Ihnen mal was" verstecken: "Ich versuche, ihn noch von seiner richtigen Wahl abzubringen? oder "Ich biete ihm noch eine zweite Chance". Und wenn der Kandidat und wir keine Hellseher sind, bleibt nach dieser ƒberlegung wieder nur die "Halbe-Halbe"-L?sung.

Im Gegensatz zu der Bemerkung "Ich zeige Ihnen mal was" k?nnte zum Beispiel in der Situation nach der ersten Wahl durch den Moderator in folgender Weise klar und unmissverständlich zum Ausdruck gebracht werden, nach welcher Regel gespielt wird:

"Heute wei? ich selbst auch nicht, wo das Auto steht. Meine Mitarbeiterin kennt aber die Autot?r. Ich fordere sie jetzt auf, eine T?r mit einer Ziege zu ?ffnen, die von Ihnen gewählte T?r aber noch geschlossen zu lassen."

Noch einmal ein Blick zur?ck in das Jahr 1991

Gero von Randow hatte in seinem oben erwähnten ersten Artikel "Eingebung n?tzt nichts" zum später so genannten Ziegenproblem am 19. Juli 1991 in der ZEIT auf Seite 58 die Aufgabenstellung w?rtlich so formuliert wie später in seinem Buch (s.o.).

Seine Begr?ndung der Zwei-Drittel-L?sung lautete damals folgenderma?en:

"T?r Nummer eins hat eine Ein-Drittel-Chance. Zeigt der Quizmaster nun, da? T?r drei als richtige Antwort ausfällt, verbleibt eine Zwei-Drittel-Chance bei Nummer zwei. Anders ausgedr?ckt: der kombinierte Fall, da? T?r zwei oder T?r drei das Auto verbergen, hat eine Wahrscheinlichkeit von zwei zu drei. Diesen Wert kann aber nur T?r 2 bekommen, weil T?r drei die Ziege zeigt. Der Witz ist, da? die Kandidatin bei ihrer zweiten Wahl ?ber mehr Informationen verf?gt als bei der ersten; denn der Spielleiter ?ffnet ja nicht die T?r, hinter der sich der Preis befindet."

Der Kern dieser Argumentation ist ein Scherz: "Wenn von den Fällen zwei oder drei einer ausscheidet, hat der andere die Wahrscheinlichkeit zwei Drittel."

Und recht vielen macht es immer noch Spa?, auf diesen Scherz hereinzufallen.

Da es sich dabei vor allem auch um Publizisten und andere "Multiplikatoren" handelt, haben wir bis heute das "Ziegenproblem".

Das eigentliche Rätsel beim Ziegenproblem ist ja, warum es nach den "messerscharfen Contra-Argumenten" nicht sofort umformuliert worden ist. Wenn zum Beispiel bei Schwarzer Peter ?ber die Regeln Unklarheiten bestehen, werden sie ja auch innerhalb von Sekunden geklärt; und es werden keine stundenlangen Vorträge dar?ber gehalten, dass die g?ltigen Spielregeln aus den bisher formulierten, zusammen mit mehreren "hochplausiblen Zusatzannahmen", ableitbar sind; gefolgt von tagelangen Diskussionen dar?ber, ob diese These stimmt.

Viele werden sagen, dass die L?sung dieses Rätsels ja sehr einfach ist ?

Neubeginn

Versuchen wir's doch mit folgender Aufgabe; auch auf die Gefahr hin, dass dann der ganze Spuk verschwindet:

Sie sind Kandidat einer Fernsehshow und stehen vor drei verschlossenen T?ren. Hinter einer der T?ren, die nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde, befindet sich der Preis, ein Auto; hinter den beiden anderen steht als Zeichen einer Niete jeweils eine Ziege. Der Showmaster wei?, hinter welcher T?r sich das Auto befindet. Sie m?ssen nun zwei T?ren bestimmen, von denen der Showmaster eine Ziegent?r ?ffnen muss. Bleibt dem Showmaster dabei eine Wahlm?glichkeit, so bestimmt er die von ihm zu ?ffnende T?r nach dem Zufallsprinzip. Danach d?rfen Sie eine der beiden verbleibenden T?ren auswählen. Geben Sie f?r jede der beiden T?ren die Gewinnchance an.

Beispiel: Sie fordern den Moderator auf, T?r 2 oder T?r 3 mit einer Ziege zu ?ffnen, und er ?ffnet die Ziegent?r 3. Geben Sie jeweils die Gewinnchance f?r T?r 1 und T?r 2 an.

Zum Schluss noch zwei ƒbungsaufgaben

Die Regeln f?r die Endphase einer Spielshow lauten folgenderma?en:

3 T?ren, 1 Auto, 2 Ziegen; wie beim Ziegenproblem.

Der nach dem bisherigen Verlauf zweitplazierte Kandidat (K2) darf eine T?r auswählen.

Der bisher Erstplazierte (K1) gewinnt das, was hinter den beiden anderen T?ren steht.

Die Aufl?sung des Gewinnspiels nach der Zuordnung der Kandidaten zu ihren T?ren beginnt damit, dass K1 eine seiner beiden T?ren ?ffnet.

Frage: Wie gro? ist die Gewinnwahrscheinlichkeit f?r die beiden Kandidaten, nachdem K1 eine Ziegent?r ge?ffnet hat?

In einer Urne befinden sich unsichtbar zwei wei?e und zwei schwarze Kugeln. Der erste Spieler holt eine Kugel heraus, ohne dass sie der zweite Spieler sieht. Nun greift der zweite Spieler eine der drei in der Urne verbliebenen Kugeln. Die Kugel des zweiten Spielers ist wei?. Er soll nun raten, welche Farbe die Kugel des ersten Spielers hat. Wie stehen seine Chancen jeweils bei "wei?" und bei "schwarz"?

Anhang

Kopien meiner beiden Leserbriefe zum Ziegenproblem an die ZEIT aus dem Jahr 1991:

Brief vom 26. Juli 1991???????????? Brief vom 28. Juli 1991

Seite 1 ???????????????????????????????????? Seite 1

Seite 2 ???????????? ??????????????????????? Seite 2

17. August 2012: Ergänzung um meinen von diesem Blog abgewiesenen Beitrag (Wenn er dort doch noch erscheinen sollte, werde ich ihn hier wieder l?schen):

Hier mal ein bisschen was Neues: Eine Erweiterung des oben geschilderten “Kurzdialogs?.

B, C, D und E wollen dem A die L?sung des Ziegenproblems erklären. Drei Spielkarten zur Veranschaulichung liegen auf dem Tisch.

B: Jetzt muss der Moderator eine andere T?r mit einer Ziege ?ffnen.

A: Warum muss er das?

B: Sonst hätte das Spiel ja keinen Sinn.

A: Warum denn das?

C: Er muss es ja gar nicht unbedingt. Die Aufgabe sagt uns aber, dass er es tut.

A: Und jetzt soll ich raten, warum er es tut?

C: Nein, du sollst deine Gewinnchancen f?r die beiden verbleibenden T?ren angeben.

A: Aber ich kann ja nicht wissen, ob er mich nur von meiner richtigen Wahl abbringen will ?

E: Oder ob er so gro?z?gig ist, dir eine neue Chance zu geben.

A: Genau.

D: Das sind ja sehr k?nstliche Annahmen.

A: Und was soll ich stattdessen annehmen?

D: Ganz einfach, dass es sich um einen fairen Moderator handelt.

A: Dass er mir also nur dann einen Wechsel anbietet, wenn ich mit der ersten Wahl falsch lag?

E: Das wäre tatsächlich sehr fair.

D: Fair bedeutet nat?rlich, dass der Moderator seine Aktion ?berhaupt nicht davon abhängig macht, ob der Kandidat mit seiner ersten Wahl richtig lag.

A: Er sagt sich also offensichtlich: “Ich ?ffne jetzt eine T?r mit einer Ziege, v?llig unabhängig davon, ob der Kandidat mit seiner ersten Wahl das Auto getroffen hat.? Woher soll ich das wissen?

E: D meint sogar noch genauer, dass die Strategie des Moderators lautet: “Ich ?ffne jetzt eine nichtgewählte Ziegent?r, ganz unabhängig davon, ob der Kandidat mit seiner ersten Wahl richtig oder falsch lag. Anschlie?end biete ich ihm einen Wechsel an.?

A: Es scheidet also beispielsweise auch die M?glichkeit aus, dass er die vom Kandidaten gewählte Ziegent?r ?ffnet und einen Wechsel anbietet?

D: Das ist ja wieder so eine abstruse Annahme.

A: Ich versuche ja nur herauszukriegen, welche Aufgabe ich l?sen soll. Die eigenartigste Annahme hast bisher du gemacht.

B: Wir m?ssen doch bedenken, dass es sich um eine Spielshow handelt, woraus sich die von D beschriebene Strategie zwanglos ergibt.

E: In Wirklichkeit hat aber gerade solch eine Spielshow nie stattgefunden.

D: Wir sollten uns von jeglicher realen Spielshow verabschieden. Es handelt sich um eine Denksportaufgabe und sonst nichts.

A: Und wie lautet diese Denksportaufgabe?

D: Genau so, wie sie formuliert ist, wobei die bei Denksportaufgaben ?blichen impliziten Voraussetzungen gemacht werden. Wenn man all diese Voraussetzungen explizit formulierte, w?rden wir heute nicht mehr fertig.

E: Man m?sste nur die entscheidende Stelle der Aufgabe so formulieren: “Sie m?ssen nun zwei T?ren bestimmen, von denen der Showmaster eine Ziegent?r ?ffnen muss?.

A: Das w?rde hei?en, dass es gar nicht der Moderator ist, der dem Spiel eine ?berraschende Wendung gibt, sondern dass er durch den Zwang durch die Spielregel zu seiner Handlung gezwungen ist?

E: Genau. Das eigentliche Rätsel beim Ziegenproblem ist ja, warum man die entscheidende Voraussetzung f?r die 2/3-L?sung im “Impliziten? gelassen hat, obwohl sie ganz einfach und kurz explizit gemacht werden kann.

A: In dem, was ich bisher ?ber das Ziegenproblem geh?rt und gelesen habe, hat das alles ?berhaupt keine Rolle gespielt. Trotzdem wurde locker die 2/3-L?sung behauptet.

C: Ich glaube, es ist Zeit, die Diskussion mit einem klaren Beweis f?r die Zwei-Drittel-L?sung zu beenden. Ich habe die Situation mit einer Monte-Carlo-Simulation in Excel nachgespielt. Dabei ergibt sich eindeutig die Zwei-Drittel-L?sung und basta. Wer es nicht glaubt, kann ja das Programm ?berpr?fen.

A: Und welche Aufgabe hast du simuliert?

C: Nat?rlich genau die, die vorliegt.

E: Du hast in deiner Simulation offensichtlich unbewusst die Spielregel eingebaut, die zu einer 2/3-L?sung f?hrt. Du hast die einmalige Spielsituation, mit der der Kandidat konfrontiert ist, zur Regel gemacht. Das ist ein typischer Fehler in der Mathematik, beim Beweis etwas vorauszusetzen, was durch die Aufgabenstellung nicht gegeben ist. Wie man z.B. im Internet sehen kann, meinen tatsächlich viele, dass allein aus der Tatsache, dass der Moderator eine nichtgewählte Ziegent?r ?ffnet, die 2/3-L?sung folgt. Mit entsprechend verworrenen Begr?ndungen. Oder eben mit angeblich ?berzeugenden Simulationen, die aber eine andere Aufgabe l?sen als die gestellte. ƒbrigens fällt dabei auch die M?glichkeit weg, die Aufgabe mit einer 2/3-L?sung einer “benachbarten? Aufgabe, die eine Halbe-Halbe-L?sung hat, gegen?berzustellen. Denn die Aufgabe, f?r die die 2/3-L?sung behauptet wird, ist ja schon die mit einer Halbe-Halbe-L?sung.

A: So. Wie lautet nun die Begr?ndung der Zwei-Drittel-L?sung bei korrekt gestellter Aufgabe?

E: Ich wei?, welche der drei Karten wo liegt. ? Wähle eine aus. ? Ich muss nun eine der beiden Karten, die du nicht gewählt hast, mit einer Niete aufdecken. Wenn ich diese aufdecke, wählst du beim zweiten Mal diese, und wenn ich diese aufdecke, wählst du diese. Du gewinnst also das Spiel durch einen Wechsel, wenn der Gewinn unter einer dieser beiden Karten liegt.

A: Ist das alles?

E: Ja. Und ganz ohne Monte-Carlo-Simulation. Und wir mussten mit dem Nachspielen nicht einmal richtig anfangen. ƒbrigens haben im Jahr 1991 drei von den vier Leuten, die die New York Times eingeladen hatte, um das Problem ein f?r alle mal zu klären, ganz ähnliche Einwände gegen die Spielregel, verbunden mit der behaupteten Zwei-Drittel-L?sung, gebracht wie du und ich; nämlich Martin Gardner, Persi Diaconis und Monty Hall. Und die vierte, Marilyn vos Savant selbst, sagte, dass diejenigen, die diese Einwände bringen, damit zeigen, dass sie das Problem wirklich verstanden haben.